Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 427 / 94
↖ ↑ ↗
← N 81.201420°
W 29.882813°		 ← 5 979.57 m → N 81.201420°
W 29.531250°		 →
↑
5 997.72 m
↓
↑
5 997.72 m
↓
N 81.147481°
W 29.882813°		 ← 6 015.93 m →
35 972 844 m²		 N 81.147481°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41748046875 y=0.09228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41748046875 × 210)
    floor (0.41748046875 × 1024)
    floor (427.5)     		tx = 427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09228515625 × 210)
    floor (0.09228515625 × 1024)
    floor (94.5)     		ty = 94
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 427 / 94 ti = "10/427/94"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/427/94.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 427 ÷ 210
    427 ÷ 1024     		x = 0.4169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94 ÷ 210
    94 ÷ 1024     		y = 0.091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091796875 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52155347} λ = -0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56481587727148))-π/2
    2×atan(12.9982648733344)-π/2
    2×1.49401422754322-π/2
    2.98802845508643-1.57079632675     		φ = 1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 427 KachelY 94 -0.52155347 1.41723213 -29.882813 81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 428 KachelY 94 -0.51541754 1.41723213 -29.531250 81.201420
    Unten links KachelX 427 KachelY + 1 95 -0.52155347 1.41629072 -29.882813 81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 428 KachelY + 1 95 -0.51541754 1.41629072 -29.531250 81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41723213-1.41629072) × R
    0.000941410000000031 × 6371000     		dl = 5997.7231100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41723213-1.41629072) × R
    0.000941410000000031 × 6371000     		dr = 5997.7231100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.41723213) × R
    0.00613593000000001 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 5979.5666489784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.41629072) × R
    0.00613593000000001 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 6015.93252804855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41723213)-sin(1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.153891614256514)×R²
    abs(-0.51541754--0.52155347)×0.000930263730164943×R²
    0.00613593000000001×0.000930263730164943×6371000²
    0.00613593000000001×0.000930263730164943×40589641000000     		ar = 35972843.9717699m²