Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 427 / 110
↖ ↑ ↗
← N 80.297927°
W 29.882813°		 ← 6 587.98 m → N 80.297927°
W 29.531250°		 →
↑
6 607.94 m
↓
↑
6 607.94 m
↓
N 80.238500°
W 29.882813°		 ← 6 627.94 m →
43 665 016 m²		 N 80.238500°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41748046875 y=0.10791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41748046875 × 210)
    floor (0.41748046875 × 1024)
    floor (427.5)     		tx = 427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10791015625 × 210)
    floor (0.10791015625 × 1024)
    floor (110.5)     		ty = 110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 427 / 110 ti = "10/427/110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/427/110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 427 ÷ 210
    427 ÷ 1024     		x = 0.4169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 110 ÷ 210
    110 ÷ 1024     		y = 0.107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107421875 × 2 - 1) × π
    0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52155347} λ = -0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46664110684961))-π/2
    2×atan(11.7828031326758)-π/2
    2×1.4861297690383-π/2
    2.97225953807661-1.57079632675     		φ = 1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 427 KachelY 110 -0.52155347 1.40146321 -29.882813 80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 428 KachelY 110 -0.51541754 1.40146321 -29.531250 80.297927
    Unten links KachelX 427 KachelY + 1 111 -0.52155347 1.40042602 -29.882813 80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 428 KachelY + 1 111 -0.51541754 1.40042602 -29.531250 80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40146321-1.40042602) × R
    0.00103718999999991 × 6371000     		dl = 6607.93748999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40146321-1.40042602) × R
    0.00103718999999991 × 6371000     		dr = 6607.93748999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.40146321) × R
    0.00613593000000001 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 6587.98261524153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.40042602) × R
    0.00613593000000001 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 6627.94499433614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40146321)-sin(1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.169547306195044)×R²
    abs(-0.51541754--0.52155347)×0.00102226462809027×R²
    0.00613593000000001×0.00102226462809027×6371000²
    0.00613593000000001×0.00102226462809027×40589641000000     		ar = 43665015.672649m²