Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 427 / 106
↖ ↑ ↗
← N 80.532071°
W 29.882813°		 ← 6 430.46 m → N 80.532071°
W 29.531250°		 →
↑
6 449.94 m
↓
↑
6 449.94 m
↓
N 80.474065°
W 29.882813°		 ← 6 469.49 m →
41 601 949 m²		 N 80.474065°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41748046875 y=0.10400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41748046875 × 210)
    floor (0.41748046875 × 1024)
    floor (427.5)     		tx = 427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10400390625 × 210)
    floor (0.10400390625 × 1024)
    floor (106.5)     		ty = 106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 427 / 106 ti = "10/427/106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/427/106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 427 ÷ 210
    427 ÷ 1024     		x = 0.4169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106 ÷ 210
    106 ÷ 1024     		y = 0.103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103515625 × 2 - 1) × π
    0.79296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49118479945508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52155347} λ = -0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49118479945508))-π/2
    2×atan(12.0755747826707)-π/2
    2×1.48817306065902-π/2
    2.97634612131804-1.57079632675     		φ = 1.40554979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40554979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.532071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 427 KachelY 106 -0.52155347 1.40554979 -29.882813 80.532071
    Oben rechts KachelX + 1 428 KachelY 106 -0.51541754 1.40554979 -29.531250 80.532071
    Unten links KachelX 427 KachelY + 1 107 -0.52155347 1.40453740 -29.882813 80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 428 KachelY + 1 107 -0.51541754 1.40453740 -29.531250 80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40554979-1.40453740) × R
    0.00101239000000009 × 6371000     		dl = 6449.93669000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40554979-1.40453740) × R
    0.00101239000000009 × 6371000     		dr = 6449.93669000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.40554979) × R
    0.00613593000000001 × 0.164495514416111 × 6371000     		do = 6430.46029944464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.40453740) × R
    0.00613593000000001 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 6469.49424155384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40554979)-sin(1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164495514416111-0.165494028999507)×R²
    abs(-0.51541754--0.52155347)×0.000998514583395421×R²
    0.00613593000000001×0.000998514583395421×6371000²
    0.00613593000000001×0.000998514583395421×40589641000000     		ar = 41601948.599939m²