Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42696 / 48450
↖ ↑ ↗
← S 64.928198°
E 54.536133°		 ← 258.82 m → S 64.928198°
E 54.541626°		 →
↑
258.79 m
↓
↑
258.79 m
↓
S 64.930525°
E 54.536133°		 ← 258.80 m →
66 978 m²		 S 64.930525°
E 54.541626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651496887207031 y=0.739295959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651496887207031 × 216)
    floor (0.651496887207031 × 65536)
    floor (42696.5)     		tx = 42696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739295959472656 × 216)
    floor (0.739295959472656 × 65536)
    floor (48450.5)     		ty = 48450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42696 / 48450 ti = "16/42696/48450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42696/48450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42696 ÷ 216
    42696 ÷ 65536     		x = 0.6514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48450 ÷ 216
    48450 ÷ 65536     		y = 0.739288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6514892578125 × 2 - 1) × π
    0.302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95183508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.47857666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50349291968344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95183508} λ = 0.95183508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50349291968344))-π/2
    2×atan(0.222352143985078)-π/2
    2×0.218792750264643-π/2
    0.437585500529287-1.57079632675     		φ = -1.13321083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95183508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13321083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.928198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42696 KachelY 48450 0.95183508 -1.13321083 54.536133 -64.928198
    Oben rechts KachelX + 1 42697 KachelY 48450 0.95193095 -1.13321083 54.541626 -64.928198
    Unten links KachelX 42696 KachelY + 1 48451 0.95183508 -1.13325145 54.536133 -64.930525
    Unten rechts KachelX + 1 42697 KachelY + 1 48451 0.95193095 -1.13325145 54.541626 -64.930525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13321083--1.13325145) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dl = 258.790020000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13321083--1.13325145) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dr = 258.790020000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95183508-0.95193095) × cos(-1.13321083) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.423753699822077 × 6371000     		do = 258.82357734387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95183508-0.95193095) × cos(-1.13325145) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.423716906792184 × 6371000     		du = 258.80110461119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13321083)-sin(-1.13325145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423753699822077-0.423716906792184)×R²
    abs(0.95193095-0.95183508)×3.67930298930119e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.67930298930119e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.67930298930119e-05×40589641000000     		ar = 66978.0509072081m²