Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4269 / 4293
↖ ↑ ↗
← S  8.624472°
E  7.602539°		 ← 4 831.24 m → S  8.624472°
E  7.646484°		 →
↑
4 831 m
↓
↑
4 831 m
↓
S  8.667918°
E  7.602539°		 ← 4 830.68 m →
23 338 380 m²		 S  8.667918°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52117919921875 y=0.52410888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52117919921875 × 213)
    floor (0.52117919921875 × 8192)
    floor (4269.5)     		tx = 4269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52410888671875 × 213)
    floor (0.52410888671875 × 8192)
    floor (4293.5)     		ty = 4293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4269 / 4293 ti = "13/4269/4293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4269/4293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4269 ÷ 213
    4269 ÷ 8192     		x = 0.5211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4293 ÷ 213
    4293 ÷ 8192     		y = 0.5240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5211181640625 × 2 - 1) × π
    0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13268934} λ = 0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151097107602417))-π/2
    2×atan(0.859764204964747)-π/2
    2×0.71013544613727-π/2
    1.42027089227454-1.57079632675     		φ = -0.15052543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15052543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.624472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4269 KachelY 4293 0.13268934 -0.15052543 7.602539 -8.624472
    Oben rechts KachelX + 1 4270 KachelY 4293 0.13345633 -0.15052543 7.646484 -8.624472
    Unten links KachelX 4269 KachelY + 1 4294 0.13268934 -0.15128371 7.602539 -8.667918
    Unten rechts KachelX + 1 4270 KachelY + 1 4294 0.13345633 -0.15128371 7.646484 -8.667918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15052543--0.15128371) × R
    0.00075828 × 6371000     		dl = 4831.00188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15052543--0.15128371) × R
    0.00075828 × 6371000     		dr = 4831.00188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13268934-0.13345633) × cos(-0.15052543) × R
    0.000766990000000023 × 0.988692422173392 × 6371000     		do = 4831.23888682427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13268934-0.13345633) × cos(-0.15128371) × R
    0.000766990000000023 × 0.988578428060257 × 6371000     		du = 4830.68185535534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15052543)-sin(-0.15128371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988692422173392-0.988578428060257)×R²
    abs(0.13345633-0.13268934)×0.000113994113135507×R²
    0.000766990000000023×0.000113994113135507×6371000²
    0.000766990000000023×0.000113994113135507×40589641000000     		ar = 23338379.7532152m²