Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4269 / 3184
↖ ↑ ↗
← N 80.900668°
W133.099365°		 ← 193.20 m → N 80.900668°
W133.088379°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 80.898931°
W133.099365°		 ← 193.23 m →
37 323 m²		 N 80.898931°
W133.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130294799804688 y=0.0971832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130294799804688 × 215)
    floor (0.130294799804688 × 32768)
    floor (4269.5)     		tx = 4269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0971832275390625 × 215)
    floor (0.0971832275390625 × 32768)
    floor (3184.5)     		ty = 3184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4269 / 3184 ti = "15/4269/3184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4269/3184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4269 ÷ 215
    4269 ÷ 32768     		x = 0.130279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3184 ÷ 215
    3184 ÷ 32768     		y = 0.09716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.73944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32302216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09716796875 × 2 - 1) × π
    0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32302216} λ = -2.32302216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53106829993897))-π/2
    2×atan(12.5669242124965)-π/2
    2×1.49138968011671-π/2
    2.98277936023343-1.57079632675     		φ = 1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32302216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4269 KachelY 3184 -2.32302216 1.41198303 -133.099365 80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 4270 KachelY 3184 -2.32283041 1.41198303 -133.088379 80.900668
    Unten links KachelX 4269 KachelY + 1 3185 -2.32302216 1.41195271 -133.099365 80.898931
    Unten rechts KachelX + 1 4270 KachelY + 1 3185 -2.32283041 1.41195271 -133.088379 80.898931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41198303-1.41195271) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41198303-1.41195271) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32302216--2.32283041) × cos(1.41198303) × R
    0.000191749999999935 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 193.198031420958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32302216--2.32283041) × cos(1.41195271) × R
    0.000191749999999935 × 0.158176487296659 × 6371000     		du = 193.23460530866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41198303)-sin(1.41195271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.158176487296659)×R²
    abs(-2.32283041--2.32302216)×2.99383698602884e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99383698602884e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99383698602884e-05×40589641000000     		ar = 37323.3489046489m²