Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42686 / 48458
↖ ↑ ↗
← S 64.946813°
E 54.481201°		 ← 258.64 m → S 64.946813°
E 54.486694°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
S 64.949139°
E 54.481201°		 ← 258.62 m →
66 899 m²		 S 64.949139°
E 54.486694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651344299316406 y=0.739418029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651344299316406 × 216)
    floor (0.651344299316406 × 65536)
    floor (42686.5)     		tx = 42686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739418029785156 × 216)
    floor (0.739418029785156 × 65536)
    floor (48458.5)     		ty = 48458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42686 / 48458 ti = "16/42686/48458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42686/48458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42686 ÷ 216
    42686 ÷ 65536     		x = 0.651336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48458 ÷ 216
    48458 ÷ 65536     		y = 0.739410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651336669921875 × 2 - 1) × π
    0.30267333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95087634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.47882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50425991007736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95087634} λ = 0.95087634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50425991007736))-π/2
    2×atan(0.222181667411878)-π/2
    2×0.21863029919338-π/2
    0.437260598386759-1.57079632675     		φ = -1.13353573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95087634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.481201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13353573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.946813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42686 KachelY 48458 0.95087634 -1.13353573 54.481201 -64.946813
    Oben rechts KachelX + 1 42687 KachelY 48458 0.95097221 -1.13353573 54.486694 -64.946813
    Unten links KachelX 42686 KachelY + 1 48459 0.95087634 -1.13357633 54.481201 -64.949139
    Unten rechts KachelX + 1 42687 KachelY + 1 48459 0.95097221 -1.13357633 54.486694 -64.949139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13353573--1.13357633) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13353573--1.13357633) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95087634-0.95097221) × cos(-1.13353573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423459390365703 × 6371000     		do = 258.643816727021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95087634-0.95097221) × cos(-1.13357633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423422609864177 × 6371000     		du = 258.621351646515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13353573)-sin(-1.13357633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423459390365703-0.423422609864177)×R²
    abs(0.95097221-0.95087634)×3.67805015256129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67805015256129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67805015256129e-05×40589641000000     		ar = 66898.5766795927m²