Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4268 / 3189
↖ ↑ ↗
← N 80.891977°
W133.110351°		 ← 193.37 m → N 80.891977°
W133.099365°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
N 80.890238°
W133.110351°		 ← 193.41 m →
37 406 m²		 N 80.890238°
W133.099365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130264282226562 y=0.0973358154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130264282226562 × 215)
    floor (0.130264282226562 × 32768)
    floor (4268.5)     		tx = 4268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0973358154296875 × 215)
    floor (0.0973358154296875 × 32768)
    floor (3189.5)     		ty = 3189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4268 / 3189 ti = "15/4268/3189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4268/3189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4268 ÷ 215
    4268 ÷ 32768     		x = 0.1302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3189 ÷ 215
    3189 ÷ 32768     		y = 0.097320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32321390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097320556640625 × 2 - 1) × π
    0.80535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53010956194656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32321390} λ = -2.32321390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53010956194656))-π/2
    2×atan(12.5548815985845)-π/2
    2×1.491313833671-π/2
    2.982627667342-1.57079632675     		φ = 1.41183134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32321390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.110351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41183134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.891977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4268 KachelY 3189 -2.32321390 1.41183134 -133.110351 80.891977
    Oben rechts KachelX + 1 4269 KachelY 3189 -2.32302216 1.41183134 -133.099365 80.891977
    Unten links KachelX 4268 KachelY + 1 3190 -2.32321390 1.41180098 -133.110351 80.890238
    Unten rechts KachelX + 1 4269 KachelY + 1 3190 -2.32302216 1.41180098 -133.099365 80.890238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41183134-1.41180098) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41183134-1.41180098) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32321390--2.32302216) × cos(1.41183134) × R
    0.000191739999999996 × 0.158296328186954 × 6371000     		do = 193.370922584991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32321390--2.32302216) × cos(1.41180098) × R
    0.000191739999999996 × 0.158326305324521 × 6371000     		du = 193.407541923002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41183134)-sin(1.41180098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158296328186954-0.158326305324521)×R²
    abs(-2.32302216--2.32321390)×2.99771375668334e-05×R²
    0.000191739999999996×2.99771375668334e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.99771375668334e-05×40589641000000     		ar = 37406.033771062m²