Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42678 / 48370
↖ ↑ ↗
← S 64.741330°
E 54.437256°		 ← 260.63 m → S 64.741330°
E 54.442749°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
S 64.743673°
E 54.437256°		 ← 260.60 m →
67 910 m²		 S 64.743673°
E 54.442749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651222229003906 y=0.738075256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651222229003906 × 216)
    floor (0.651222229003906 × 65536)
    floor (42678.5)     		tx = 42678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738075256347656 × 216)
    floor (0.738075256347656 × 65536)
    floor (48370.5)     		ty = 48370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42678 / 48370 ti = "16/42678/48370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42678/48370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42678 ÷ 216
    42678 ÷ 65536     		x = 0.651214599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48370 ÷ 216
    48370 ÷ 65536     		y = 0.738067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651214599609375 × 2 - 1) × π
    0.30242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95010935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.47613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49582301574423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95010935} λ = 0.95010935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49582301574423))-π/2
    2×atan(0.224064120525336)-π/2
    2×0.220423480454214-π/2
    0.440846960908428-1.57079632675     		φ = -1.12994937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95010935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12994937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.741330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42678 KachelY 48370 0.95010935 -1.12994937 54.437256 -64.741330
    Oben rechts KachelX + 1 42679 KachelY 48370 0.95020522 -1.12994937 54.442749 -64.741330
    Unten links KachelX 42678 KachelY + 1 48371 0.95010935 -1.12999027 54.437256 -64.743673
    Unten rechts KachelX + 1 42679 KachelY + 1 48371 0.95020522 -1.12999027 54.442749 -64.743673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12994937--1.12999027) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dl = 260.573899999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12994937--1.12999027) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dr = 260.573899999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95010935-0.95020522) × cos(-1.12994937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426705597772437 × 6371000     		do = 260.626560509938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95010935-0.95020522) × cos(-1.12999027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426668607840563 × 6371000     		du = 260.603967511937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12994937)-sin(-1.12999027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426705597772437-0.426668607840563)×R²
    abs(0.95020522-0.95010935)×3.69899318733991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69899318733991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69899318733991e-05×40589641000000     		ar = 67909.53575227m²