Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42671 / 48367
↖ ↑ ↗
← S 64.734297°
E 54.398803°		 ← 260.72 m → S 64.734297°
E 54.404297°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
S 64.736641°
E 54.398803°		 ← 260.70 m →
67 968 m²		 S 64.736641°
E 54.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651115417480469 y=0.738029479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651115417480469 × 216)
    floor (0.651115417480469 × 65536)
    floor (42671.5)     		tx = 42671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738029479980469 × 216)
    floor (0.738029479980469 × 65536)
    floor (48367.5)     		ty = 48367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42671 / 48367 ti = "16/42671/48367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42671/48367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42671 ÷ 216
    42671 ÷ 65536     		x = 0.651107788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48367 ÷ 216
    48367 ÷ 65536     		y = 0.738021850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651107788085938 × 2 - 1) × π
    0.302215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94943823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738021850585938 × 2 - 1) × π
    -0.476043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49553539434651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94943823} λ = 0.94943823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49553539434651))-π/2
    2×atan(0.224128575429721)-π/2
    2×0.220484853266684-π/2
    0.440969706533368-1.57079632675     		φ = -1.12982662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94943823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.398803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12982662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.734297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42671 KachelY 48367 0.94943823 -1.12982662 54.398803 -64.734297
    Oben rechts KachelX + 1 42672 KachelY 48367 0.94953411 -1.12982662 54.404297 -64.734297
    Unten links KachelX 42671 KachelY + 1 48368 0.94943823 -1.12986754 54.398803 -64.736641
    Unten rechts KachelX + 1 42672 KachelY + 1 48368 0.94953411 -1.12986754 54.404297 -64.736641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12982662--1.12986754) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12982662--1.12986754) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94943823-0.94953411) × cos(-1.12982662) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.426816608501936 × 6371000     		do = 260.721556991817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94943823-0.94953411) × cos(-1.12986754) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.4267796026254 × 6371000     		du = 260.698951897366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12982662)-sin(-1.12986754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426816608501936-0.4267796026254)×R²
    abs(0.94953411-0.94943823)×3.70058765361558e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.70058765361558e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.70058765361558e-05×40589641000000     		ar = 67967.5074805707m²