Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4267 / 3915
↖ ↑ ↗
← N 79.538626°
W133.121338°		 ← 221.82 m → N 79.538626°
W133.110351°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
N 79.536631°
W133.121338°		 ← 221.86 m →
49 212 m²		 N 79.536631°
W133.110351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130233764648438 y=0.119491577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130233764648438 × 215)
    floor (0.130233764648438 × 32768)
    floor (4267.5)     		tx = 4267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119491577148438 × 215)
    floor (0.119491577148438 × 32768)
    floor (3915.5)     		ty = 3915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4267 / 3915 ti = "15/4267/3915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4267/3915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4267 ÷ 215
    4267 ÷ 32768     		x = 0.130218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3915 ÷ 215
    3915 ÷ 32768     		y = 0.119476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.73956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32340565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119476318359375 × 2 - 1) × π
    0.76104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39090080544992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32340565} λ = -2.32340565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39090080544992))-π/2
    2×atan(10.9233293070732)-π/2
    2×1.47950361671425-π/2
    2.9590072334285-1.57079632675     		φ = 1.38821091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32340565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38821091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.538626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4267 KachelY 3915 -2.32340565 1.38821091 -133.121338 79.538626
    Oben rechts KachelX + 1 4268 KachelY 3915 -2.32321390 1.38821091 -133.110351 79.538626
    Unten links KachelX 4267 KachelY + 1 3916 -2.32340565 1.38817609 -133.121338 79.536631
    Unten rechts KachelX + 1 4268 KachelY + 1 3916 -2.32321390 1.38817609 -133.110351 79.536631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38821091-1.38817609) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dl = 221.838219999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38821091-1.38817609) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dr = 221.838219999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32340565--2.32321390) × cos(1.38821091) × R
    0.000191750000000379 × 0.181572618248413 × 6371000     		do = 221.816237177966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32340565--2.32321390) × cos(1.38817609) × R
    0.000191750000000379 × 0.181606859344243 × 6371000     		du = 221.858067444596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38821091)-sin(1.38817609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181572618248413-0.181606859344243)×R²
    abs(-2.32321390--2.32340565)×3.42410958304451e-05×R²
    0.000191750000000379×3.42410958304451e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.42410958304451e-05×40589641000000     		ar = 49211.959003244m²