Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42668 / 48362
↖ ↑ ↗
← S 64.722571°
E 54.382324°		 ← 260.83 m → S 64.722571°
E 54.387818°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 64.724917°
E 54.382324°		 ← 260.81 m →
68 030 m²		 S 64.724917°
E 54.387818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651069641113281 y=0.737953186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651069641113281 × 216)
    floor (0.651069641113281 × 65536)
    floor (42668.5)     		tx = 42668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737953186035156 × 216)
    floor (0.737953186035156 × 65536)
    floor (48362.5)     		ty = 48362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42668 / 48362 ti = "16/42668/48362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42668/48362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42668 ÷ 216
    42668 ÷ 65536     		x = 0.65106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48362 ÷ 216
    48362 ÷ 65536     		y = 0.737945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65106201171875 × 2 - 1) × π
    0.3021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94915061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.47589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49505602535031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94915061} λ = 0.94915061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49505602535031))-π/2
    2×atan(0.224236041475832)-π/2
    2×0.220587176768118-π/2
    0.441174353536236-1.57079632675     		φ = -1.12962197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94915061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.382324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12962197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.722571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42668 KachelY 48362 0.94915061 -1.12962197 54.382324 -64.722571
    Oben rechts KachelX + 1 42669 KachelY 48362 0.94924649 -1.12962197 54.387818 -64.722571
    Unten links KachelX 42668 KachelY + 1 48363 0.94915061 -1.12966291 54.382324 -64.724917
    Unten rechts KachelX + 1 42669 KachelY + 1 48363 0.94924649 -1.12966291 54.387818 -64.724917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12962197--1.12966291) × R
    4.09399999998783e-05 × 6371000     		dl = 260.828739999225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12962197--1.12966291) × R
    4.09399999998783e-05 × 6371000     		dr = 260.828739999225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94915061-0.94924649) × cos(-1.12962197) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.427001672375697 × 6371000     		do = 260.834603533301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94915061-0.94924649) × cos(-1.12966291) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.426964651988695 × 6371000     		du = 260.81198957511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12962197)-sin(-1.12966291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427001672375697-0.426964651988695)×R²
    abs(0.94924649-0.94915061)×3.70203870013741e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.70203870013741e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.70203870013741e-05×40589641000000     		ar = 68030.211812489m²