Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4265 / 3943
↖ ↑ ↗
← N 79.482624°
W133.143311°		 ← 222.99 m → N 79.482624°
W133.132324°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
N 79.480618°
W133.143311°		 ← 223.03 m →
49 742 m²		 N 79.480618°
W133.132324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130172729492188 y=0.120346069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130172729492188 × 215)
    floor (0.130172729492188 × 32768)
    floor (4265.5)     		tx = 4265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120346069335938 × 215)
    floor (0.120346069335938 × 32768)
    floor (3943.5)     		ty = 3943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4265 / 3943 ti = "15/4265/3943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4265/3943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4265 ÷ 215
    4265 ÷ 32768     		x = 0.130157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3943 ÷ 215
    3943 ÷ 32768     		y = 0.120330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.73968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32378915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120330810546875 × 2 - 1) × π
    0.75933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38553187269247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32378915} λ = -2.32378915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38553187269247))-π/2
    2×atan(10.8648398400425)-π/2
    2×1.47901490219908-π/2
    2.95802980439817-1.57079632675     		φ = 1.38723348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32378915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.143311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38723348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.482624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4265 KachelY 3943 -2.32378915 1.38723348 -133.143311 79.482624
    Oben rechts KachelX + 1 4266 KachelY 3943 -2.32359740 1.38723348 -133.132324 79.482624
    Unten links KachelX 4265 KachelY + 1 3944 -2.32378915 1.38719847 -133.143311 79.480618
    Unten rechts KachelX + 1 4266 KachelY + 1 3944 -2.32359740 1.38719847 -133.132324 79.480618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38723348-1.38719847) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38723348-1.38719847) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32378915--2.32359740) × cos(1.38723348) × R
    0.000191749999999935 × 0.182533714068901 × 6371000     		do = 222.990349554771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32378915--2.32359740) × cos(1.38719847) × R
    0.000191749999999935 × 0.182568135774842 × 6371000     		du = 223.032400461801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38723348)-sin(1.38719847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182533714068901-0.182568135774842)×R²
    abs(-2.32359740--2.32378915)×3.44217059412844e-05×R²
    0.000191749999999935×3.44217059412844e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.44217059412844e-05×40589641000000     		ar = 49742.3995158077m²