Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4265 / 3917
↖ ↑ ↗
← N 79.534636°
W133.143311°		 ← 221.90 m → N 79.534636°
W133.132324°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
N 79.532640°
W133.143311°		 ← 221.94 m →
49 245 m²		 N 79.532640°
W133.132324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130172729492188 y=0.119552612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130172729492188 × 215)
    floor (0.130172729492188 × 32768)
    floor (4265.5)     		tx = 4265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119552612304688 × 215)
    floor (0.119552612304688 × 32768)
    floor (3917.5)     		ty = 3917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4265 / 3917 ti = "15/4265/3917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4265/3917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4265 ÷ 215
    4265 ÷ 32768     		x = 0.130157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3917 ÷ 215
    3917 ÷ 32768     		y = 0.119537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.73968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32378915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119537353515625 × 2 - 1) × π
    0.76092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39051731025296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32378915} λ = -2.32378915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39051731025296))-π/2
    2×atan(10.9191410658857)-π/2
    2×1.47946879403438-π/2
    2.95893758806877-1.57079632675     		φ = 1.38814126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32378915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.143311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38814126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.534636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4265 KachelY 3917 -2.32378915 1.38814126 -133.143311 79.534636
    Oben rechts KachelX + 1 4266 KachelY 3917 -2.32359740 1.38814126 -133.132324 79.534636
    Unten links KachelX 4265 KachelY + 1 3918 -2.32378915 1.38810643 -133.143311 79.532640
    Unten rechts KachelX + 1 4266 KachelY + 1 3918 -2.32359740 1.38810643 -133.132324 79.532640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38814126-1.38810643) × R
    3.48300000001522e-05 × 6371000     		dl = 221.90193000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38814126-1.38810643) × R
    3.48300000001522e-05 × 6371000     		dr = 221.90193000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32378915--2.32359740) × cos(1.38814126) × R
    0.000191749999999935 × 0.181641110053537 × 6371000     		do = 221.899909454895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32378915--2.32359740) × cos(1.38810643) × R
    0.000191749999999935 × 0.181675360542476 × 6371000     		du = 221.941751196515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38814126)-sin(1.38810643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181641110053537-0.181675360542476)×R²
    abs(-2.32359740--2.32378915)×3.42504889393747e-05×R²
    0.000191749999999935×3.42504889393747e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.42504889393747e-05×40589641000000     		ar = 49244.6605624293m²