Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42646 / 48553
↖ ↑ ↗
← S 65.166886°
E 54.261475°		 ← 256.52 m → S 65.166886°
E 54.266968°		 →
↑
256.56 m
↓
↑
256.56 m
↓
S 65.169193°
E 54.261475°		 ← 256.49 m →
65 809 m²		 S 65.169193°
E 54.266968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650733947753906 y=0.740867614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650733947753906 × 216)
    floor (0.650733947753906 × 65536)
    floor (42646.5)     		tx = 42646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740867614746094 × 216)
    floor (0.740867614746094 × 65536)
    floor (48553.5)     		ty = 48553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42646 / 48553 ti = "16/42646/48553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42646/48553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42646 ÷ 216
    42646 ÷ 65536     		x = 0.650726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48553 ÷ 216
    48553 ÷ 65536     		y = 0.740859985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650726318359375 × 2 - 1) × π
    0.30145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94704139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740859985351562 × 2 - 1) × π
    -0.481719970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51336792100517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94704139} λ = 0.94704139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51336792100517))-π/2
    2×atan(0.220167222078007)-π/2
    2×0.216709801550767-π/2
    0.433419603101534-1.57079632675     		φ = -1.13737672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94704139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13737672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.166886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42646 KachelY 48553 0.94704139 -1.13737672 54.261475 -65.166886
    Oben rechts KachelX + 1 42647 KachelY 48553 0.94713726 -1.13737672 54.266968 -65.166886
    Unten links KachelX 42646 KachelY + 1 48554 0.94704139 -1.13741699 54.261475 -65.169193
    Unten rechts KachelX + 1 42647 KachelY + 1 48554 0.94713726 -1.13741699 54.266968 -65.169193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13737672--1.13741699) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dl = 256.560169999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13737672--1.13741699) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dr = 256.560169999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94704139-0.94713726) × cos(-1.13737672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419976664444301 × 6371000     		do = 256.516610327967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94704139-0.94713726) × cos(-1.13741699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419940117673209 × 6371000     		du = 256.494288007152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13737672)-sin(-1.13741699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419976664444301-0.419940117673209)×R²
    abs(0.94713726-0.94704139)×3.65467710919942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65467710919942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65467710919942e-05×40589641000000     		ar = 65809.0816531917m²