Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42646 / 48364
↖ ↑ ↗
← S 64.727262°
E 54.261475°		 ← 260.76 m → S 64.727262°
E 54.266968°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 64.729607°
E 54.261475°		 ← 260.74 m →
67 995 m²		 S 64.729607°
E 54.266968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650733947753906 y=0.737983703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650733947753906 × 216)
    floor (0.650733947753906 × 65536)
    floor (42646.5)     		tx = 42646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737983703613281 × 216)
    floor (0.737983703613281 × 65536)
    floor (48364.5)     		ty = 48364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42646 / 48364 ti = "16/42646/48364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42646/48364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42646 ÷ 216
    42646 ÷ 65536     		x = 0.650726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48364 ÷ 216
    48364 ÷ 65536     		y = 0.73797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650726318359375 × 2 - 1) × π
    0.30145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94704139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49524777294879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94704139} λ = 0.94704139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49524777294879))-π/2
    2×atan(0.224193048875382)-π/2
    2×0.22054624204473-π/2
    0.441092484089459-1.57079632675     		φ = -1.12970384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94704139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12970384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.727262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42646 KachelY 48364 0.94704139 -1.12970384 54.261475 -64.727262
    Oben rechts KachelX + 1 42647 KachelY 48364 0.94713726 -1.12970384 54.266968 -64.727262
    Unten links KachelX 42646 KachelY + 1 48365 0.94704139 -1.12974477 54.261475 -64.729607
    Unten rechts KachelX + 1 42647 KachelY + 1 48365 0.94713726 -1.12974477 54.266968 -64.729607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12970384--1.12974477) × R
    4.09300000001611e-05 × 6371000     		dl = 260.765030001026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12970384--1.12974477) × R
    4.09300000001611e-05 × 6371000     		dr = 260.765030001026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94704139-0.94713726) × cos(-1.12970384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426927639928923 × 6371000     		do = 260.762181143544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94704139-0.94713726) × cos(-1.12974477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426890627153934 × 6371000     		du = 260.739574193247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12970384)-sin(-1.12974477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426927639928923-0.426890627153934)×R²
    abs(0.94713726-0.94704139)×3.70127749890203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70127749890203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70127749890203e-05×40589641000000     		ar = 67994.7104474581m²