Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42645 / 48359
↖ ↑ ↗
← S 64.715534°
E 54.255982°		 ← 260.88 m → S 64.715534°
E 54.261475°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
S 64.717880°
E 54.255982°		 ← 260.85 m →
68 057 m²		 S 64.717880°
E 54.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650718688964844 y=0.737907409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650718688964844 × 216)
    floor (0.650718688964844 × 65536)
    floor (42645.5)     		tx = 42645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737907409667969 × 216)
    floor (0.737907409667969 × 65536)
    floor (48359.5)     		ty = 48359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42645 / 48359 ti = "16/42645/48359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42645/48359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42645 ÷ 216
    42645 ÷ 65536     		x = 0.650711059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48359 ÷ 216
    48359 ÷ 65536     		y = 0.737899780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650711059570312 × 2 - 1) × π
    0.301422119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.94694552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737899780273438 × 2 - 1) × π
    -0.475799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49476840395259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94694552} λ = 0.94694552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49476840395259))-π/2
    2×atan(0.224300545835473)-π/2
    2×0.220648592162628-π/2
    0.441297184325257-1.57079632675     		φ = -1.12949914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94694552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.255982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12949914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.715534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42645 KachelY 48359 0.94694552 -1.12949914 54.255982 -64.715534
    Oben rechts KachelX + 1 42646 KachelY 48359 0.94704139 -1.12949914 54.261475 -64.715534
    Unten links KachelX 42645 KachelY + 1 48360 0.94694552 -1.12954009 54.255982 -64.717880
    Unten rechts KachelX + 1 42646 KachelY + 1 48360 0.94704139 -1.12954009 54.261475 -64.717880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12949914--1.12954009) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dl = 260.892450000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12949914--1.12954009) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dr = 260.892450000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94694552-0.94704139) × cos(-1.12949914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427112738284294 × 6371000     		do = 260.875236955252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94694552-0.94704139) × cos(-1.12954009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427075711002566 × 6371000     		du = 260.852621144416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12949914)-sin(-1.12954009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427112738284294-0.427075711002566)×R²
    abs(0.94704139-0.94694552)×3.70272817277195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70272817277195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70272817277195e-05×40589641000000     		ar = 68057.4295758053m²