Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42643 / 48358
↖ ↑ ↗
← S 64.713187°
E 54.244995°		 ← 260.90 m → S 64.713187°
E 54.250488°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
S 64.715534°
E 54.244995°		 ← 260.88 m →
68 063 m²		 S 64.715534°
E 54.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650688171386719 y=0.737892150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650688171386719 × 216)
    floor (0.650688171386719 × 65536)
    floor (42643.5)     		tx = 42643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737892150878906 × 216)
    floor (0.737892150878906 × 65536)
    floor (48358.5)     		ty = 48358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42643 / 48358 ti = "16/42643/48358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42643/48358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42643 ÷ 216
    42643 ÷ 65536     		x = 0.650680541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48358 ÷ 216
    48358 ÷ 65536     		y = 0.737884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650680541992188 × 2 - 1) × π
    0.301361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94675377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.47576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49467253015335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94675377} λ = 0.94675377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49467253015335))-π/2
    2×atan(0.224322051411868)-π/2
    2×0.220669067510457-π/2
    0.441338135020915-1.57079632675     		φ = -1.12945819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94675377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.244995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12945819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.713187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42643 KachelY 48358 0.94675377 -1.12945819 54.244995 -64.713187
    Oben rechts KachelX + 1 42644 KachelY 48358 0.94684964 -1.12945819 54.250488 -64.713187
    Unten links KachelX 42643 KachelY + 1 48359 0.94675377 -1.12949914 54.244995 -64.715534
    Unten rechts KachelX + 1 42644 KachelY + 1 48359 0.94684964 -1.12949914 54.250488 -64.715534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12945819--1.12949914) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dl = 260.892450000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12945819--1.12949914) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dr = 260.892450000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94675377-0.94684964) × cos(-1.12945819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427149764849795 × 6371000     		do = 260.897852328625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94675377-0.94684964) × cos(-1.12949914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427112738284294 × 6371000     		du = 260.875236955252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12945819)-sin(-1.12949914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427149764849795-0.427112738284294)×R²
    abs(0.94684964-0.94675377)×3.70265655012525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70265655012525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70265655012525e-05×40589641000000     		ar = 68063.3298132163m²