Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42640 / 91824
↖ ↑ ↗
← S 58.332567°
W 62.885742°		 ← 160.31 m → S 58.332567°
W 62.882996°		 →
↑
160.29 m
↓
↑
160.29 m
↓
S 58.334009°
W 62.885742°		 ← 160.30 m →
25 696 m²		 S 58.334009°
W 62.882996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.325321197509766 y=0.700565338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.325321197509766 × 217)
    floor (0.325321197509766 × 131072)
    floor (42640.5)     		tx = 42640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700565338134766 × 217)
    floor (0.700565338134766 × 131072)
    floor (91824.5)     		ty = 91824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42640 / 91824 ti = "17/42640/91824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42640/91824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42640 ÷ 217
    42640 ÷ 131072     		x = 0.3253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91824 ÷ 217
    91824 ÷ 131072     		y = 0.7005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.09756325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.26016521721204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.09756325} λ = -1.09756325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26016521721204))-π/2
    2×atan(0.283607165843529)-π/2
    2×0.276350484610257-π/2
    0.552700969220515-1.57079632675     		φ = -1.01809536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.09756325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.885742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01809536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.332567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42640 KachelY 91824 -1.09756325 -1.01809536 -62.885742 -58.332567
    Oben rechts KachelX + 1 42641 KachelY 91824 -1.09751532 -1.01809536 -62.882996 -58.332567
    Unten links KachelX 42640 KachelY + 1 91825 -1.09756325 -1.01812052 -62.885742 -58.334009
    Unten rechts KachelX + 1 42641 KachelY + 1 91825 -1.09751532 -1.01812052 -62.882996 -58.334009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01809536--1.01812052) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dl = 160.294360000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01809536--1.01812052) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dr = 160.294360000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.09756325--1.09751532) × cos(-1.01809536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.524987959998437 × 6371000     		do = 160.31138919078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.09756325--1.09751532) × cos(-1.01812052) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.524966545913398 × 6371000     		du = 160.304850142301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01809536)-sin(-1.01812052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524987959998437-0.524966545913398)×R²
    abs(-1.09751532--1.09756325)×2.14140850390843e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14140850390843e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14140850390843e-05×40589641000000     		ar = 25696.4874462709m²