Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42639 / 48363
↖ ↑ ↗
← S 64.724917°
E 54.223022°		 ← 260.81 m → S 64.724917°
E 54.228516°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 64.727262°
E 54.223022°		 ← 260.79 m →
68 008 m²		 S 64.727262°
E 54.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650627136230469 y=0.737968444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650627136230469 × 216)
    floor (0.650627136230469 × 65536)
    floor (42639.5)     		tx = 42639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737968444824219 × 216)
    floor (0.737968444824219 × 65536)
    floor (48363.5)     		ty = 48363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42639 / 48363 ti = "16/42639/48363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42639/48363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42639 ÷ 216
    42639 ÷ 65536     		x = 0.650619506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48363 ÷ 216
    48363 ÷ 65536     		y = 0.737960815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650619506835938 × 2 - 1) × π
    0.301239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94637027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737960815429688 × 2 - 1) × π
    -0.475921630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49515189914955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94637027} λ = 0.94637027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49515189914955))-π/2
    2×atan(0.224214544145141)-π/2
    2×0.220566708519208-π/2
    0.441133417038416-1.57079632675     		φ = -1.12966291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94637027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.223022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12966291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.724917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42639 KachelY 48363 0.94637027 -1.12966291 54.223022 -64.724917
    Oben rechts KachelX + 1 42640 KachelY 48363 0.94646615 -1.12966291 54.228516 -64.724917
    Unten links KachelX 42639 KachelY + 1 48364 0.94637027 -1.12970384 54.223022 -64.727262
    Unten rechts KachelX + 1 42640 KachelY + 1 48364 0.94646615 -1.12970384 54.228516 -64.727262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12966291--1.12970384) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dl = 260.765029999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12966291--1.12970384) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dr = 260.765029999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94637027-0.94646615) × cos(-1.12966291) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.426964651988695 × 6371000     		do = 260.81198957511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94637027-0.94646615) × cos(-1.12970384) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.426927639928923 × 6371000     		du = 260.789380703621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12966291)-sin(-1.12970384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426964651988695-0.426927639928923)×R²
    abs(0.94646615-0.94637027)×3.70120597719681e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.70120597719681e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.70120597719681e-05×40589641000000     		ar = 68007.6984934844m²