Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42638 / 48550
↖ ↑ ↗
← S 65.159964°
E 54.217529°		 ← 256.58 m → S 65.159964°
E 54.223022°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
S 65.162272°
E 54.217529°		 ← 256.56 m →
65 843 m²		 S 65.162272°
E 54.223022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650611877441406 y=0.740821838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650611877441406 × 216)
    floor (0.650611877441406 × 65536)
    floor (42638.5)     		tx = 42638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740821838378906 × 216)
    floor (0.740821838378906 × 65536)
    floor (48550.5)     		ty = 48550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42638 / 48550 ti = "16/42638/48550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42638/48550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42638 ÷ 216
    42638 ÷ 65536     		x = 0.650604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48550 ÷ 216
    48550 ÷ 65536     		y = 0.740814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650604248046875 × 2 - 1) × π
    0.30120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94627440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.48162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51308029960745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94627440} λ = 0.94627440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51308029960745))-π/2
    2×atan(0.220230555989811)-π/2
    2×0.216770206571068-π/2
    0.433540413142136-1.57079632675     		φ = -1.13725591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94627440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.217529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13725591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.159964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42638 KachelY 48550 0.94627440 -1.13725591 54.217529 -65.159964
    Oben rechts KachelX + 1 42639 KachelY 48550 0.94637027 -1.13725591 54.223022 -65.159964
    Unten links KachelX 42638 KachelY + 1 48551 0.94627440 -1.13729619 54.217529 -65.162272
    Unten rechts KachelX + 1 42639 KachelY + 1 48551 0.94637027 -1.13729619 54.223022 -65.162272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13725591--1.13729619) × R
    4.02800000001147e-05 × 6371000     		dl = 256.623880000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13725591--1.13729619) × R
    4.02800000001147e-05 × 6371000     		dr = 256.623880000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94627440-0.94637027) × cos(-1.13725591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420086300670952 × 6371000     		do = 256.583574794355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94627440-0.94637027) × cos(-1.13729619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420049746868221 × 6371000     		du = 256.5612481787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13725591)-sin(-1.13729619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420086300670952-0.420049746868221)×R²
    abs(0.94637027-0.94627440)×3.65538027307655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65538027307655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65538027307655e-05×40589641000000     		ar = 65842.6077457465m²