Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42633 / 48521
↖ ↑ ↗
← S 65.092959°
E 54.190064°		 ← 257.23 m → S 65.092959°
E 54.195556°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
S 65.095272°
E 54.190064°		 ← 257.21 m →
66 156 m²		 S 65.095272°
E 54.195556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650535583496094 y=0.740379333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650535583496094 × 216)
    floor (0.650535583496094 × 65536)
    floor (42633.5)     		tx = 42633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740379333496094 × 216)
    floor (0.740379333496094 × 65536)
    floor (48521.5)     		ty = 48521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42633 / 48521 ti = "16/42633/48521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42633/48521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42633 ÷ 216
    42633 ÷ 65536     		x = 0.650527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48521 ÷ 216
    48521 ÷ 65536     		y = 0.740371704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650527954101562 × 2 - 1) × π
    0.301055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94579503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740371704101562 × 2 - 1) × π
    -0.480743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51029995942949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94579503} λ = 0.94579503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51029995942949))-π/2
    2×atan(0.220843723865688)-π/2
    2×0.217354935201904-π/2
    0.434709870403809-1.57079632675     		φ = -1.13608646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94579503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13608646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.092959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42633 KachelY 48521 0.94579503 -1.13608646 54.190064 -65.092959
    Oben rechts KachelX + 1 42634 KachelY 48521 0.94589090 -1.13608646 54.195556 -65.092959
    Unten links KachelX 42633 KachelY + 1 48522 0.94579503 -1.13612683 54.190064 -65.095272
    Unten rechts KachelX + 1 42634 KachelY + 1 48522 0.94589090 -1.13612683 54.195556 -65.095272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13608646--1.13612683) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13608646--1.13612683) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94579503-0.94589090) × cos(-1.13608646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421147270521765 × 6371000     		do = 257.23160220357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94579503-0.94589090) × cos(-1.13612683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421110654900685 × 6371000     		du = 257.209237830023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13608646)-sin(-1.13612683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421147270521765-0.421110654900685)×R²
    abs(0.94589090-0.94579503)×3.66156210804824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66156210804824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66156210804824e-05×40589641000000     		ar = 66156.3898258377m²