Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4261 / 4331
↖ ↑ ↗
← S 10.271681°
E  7.250976°		 ← 4 808.24 m → S 10.271681°
E  7.294922°		 →
↑
4 807.81 m
↓
↑
4 807.81 m
↓
S 10.314919°
E  7.250976°		 ← 4 807.58 m →
23 115 536 m²		 S 10.314919°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52020263671875 y=0.52874755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52020263671875 × 213)
    floor (0.52020263671875 × 8192)
    floor (4261.5)     		tx = 4261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52874755859375 × 213)
    floor (0.52874755859375 × 8192)
    floor (4331.5)     		ty = 4331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4261 / 4331 ti = "13/4261/4331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4261/4331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4261 ÷ 213
    4261 ÷ 8192     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4331 ÷ 213
    4331 ÷ 8192     		y = 0.5286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180242742571411))-π/2
    2×atan(0.835067480379052)-π/2
    2×0.695760834784867-π/2
    1.39152166956973-1.57079632675     		φ = -0.17927466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17927466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.271681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4261 KachelY 4331 0.12655341 -0.17927466 7.250976 -10.271681
    Oben rechts KachelX + 1 4262 KachelY 4331 0.12732041 -0.17927466 7.294922 -10.271681
    Unten links KachelX 4261 KachelY + 1 4332 0.12655341 -0.18002930 7.250976 -10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 4262 KachelY + 1 4332 0.12732041 -0.18002930 7.294922 -10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17927466--0.18002930) × R
    0.000754640000000001 × 6371000     		dl = 4807.81144000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17927466--0.18002930) × R
    0.000754640000000001 × 6371000     		dr = 4807.81144000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(-0.17927466) × R
    0.00076699999999999 × 0.98397329127854 × 6371000     		do = 4808.24157431012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(-0.18002930) × R
    0.00076699999999999 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 4807.58264907624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17927466)-sin(-0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98397329127854-0.983838446799311)×R²
    abs(0.12732041-0.12655341)×0.000134844479229179×R²
    0.00076699999999999×0.000134844479229179×6371000²
    0.00076699999999999×0.000134844479229179×40589641000000     		ar = 23115535.9501023m²