Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4261 / 2675
↖ ↑ ↗
← N 76.253039°
W 86.374512°		 ← 580.61 m → N 76.253039°
W 86.352539°		 →
↑
580.72 m
↓
↑
580.72 m
↓
N 76.247817°
W 86.374512°		 ← 580.82 m →
337 231 m²		 N 76.247817°
W 86.352539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260101318359375 y=0.163299560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260101318359375 × 214)
    floor (0.260101318359375 × 16384)
    floor (4261.5)     		tx = 4261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163299560546875 × 214)
    floor (0.163299560546875 × 16384)
    floor (2675.5)     		ty = 2675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4261 / 2675 ti = "14/4261/2675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4261/2675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4261 ÷ 214
    4261 ÷ 16384     		x = 0.26007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2675 ÷ 214
    2675 ÷ 16384     		y = 0.16326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.4798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.50751962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16326904296875 × 2 - 1) × π
    0.6734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1157430016308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50751962} λ = -1.50751962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1157430016308))-π/2
    2×atan(8.29574723056771)-π/2
    2×1.45083146121273-π/2
    2.90166292242546-1.57079632675     		φ = 1.33086660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50751962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.374512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33086660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.253039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4261 KachelY 2675 -1.50751962 1.33086660 -86.374512 76.253039
    Oben rechts KachelX + 1 4262 KachelY 2675 -1.50713612 1.33086660 -86.352539 76.253039
    Unten links KachelX 4261 KachelY + 1 2676 -1.50751962 1.33077545 -86.374512 76.247817
    Unten rechts KachelX + 1 4262 KachelY + 1 2676 -1.50713612 1.33077545 -86.352539 76.247817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33086660-1.33077545) × R
    9.11500000000398e-05 × 6371000     		dl = 580.716650000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33086660-1.33077545) × R
    9.11500000000398e-05 × 6371000     		dr = 580.716650000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50751962--1.50713612) × cos(1.33086660) × R
    0.000383500000000092 × 0.237634366807533 × 6371000     		do = 580.606939282099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50751962--1.50713612) × cos(1.33077545) × R
    0.000383500000000092 × 0.237722904799009 × 6371000     		du = 580.823262253106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33086660)-sin(1.33077545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237634366807533-0.237722904799009)×R²
    abs(-1.50713612--1.50751962)×8.85379914761508e-05×R²
    0.000383500000000092×8.85379914761508e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.85379914761508e-05×40589641000000     		ar = 337230.928155957m²