Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 426 / 109
↖ ↑ ↗
← N 80.356996°
W 30.234375°		 ← 6 548.24 m → N 80.356996°
W 29.882813°		 →
↑
6 568.12 m
↓
↑
6 568.12 m
↓
N 80.297927°
W 30.234375°		 ← 6 587.97 m →
43 140 115 m²		 N 80.297927°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41650390625 y=0.10693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41650390625 × 210)
    floor (0.41650390625 × 1024)
    floor (426.5)     		tx = 426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10693359375 × 210)
    floor (0.10693359375 × 1024)
    floor (109.5)     		ty = 109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 426 / 109 ti = "10/426/109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/426/109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 426 ÷ 210
    426 ÷ 1024     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 109 ÷ 210
    109 ÷ 1024     		y = 0.1064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47277703000098))-π/2
    2×atan(11.8553237702043)-π/2
    2×1.48664523690651-π/2
    2.97329047381303-1.57079632675     		φ = 1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 426 KachelY 109 -0.52768939 1.40249415 -30.234375 80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 427 KachelY 109 -0.52155347 1.40249415 -29.882813 80.356996
    Unten links KachelX 426 KachelY + 1 110 -0.52768939 1.40146321 -30.234375 80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 427 KachelY + 1 110 -0.52155347 1.40146321 -29.882813 80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40249415-1.40146321) × R
    0.00103094000000015 × 6371000     		dl = 6568.11874000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40249415-1.40146321) × R
    0.00103094000000015 × 6371000     		dr = 6568.11874000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.52155347) × cos(1.40249415) × R
    0.00613592000000007 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 6548.24335007719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.52155347) × cos(1.40146321) × R
    0.00613592000000007 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 6587.97187851119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40249415)-sin(1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.168525041566953)×R²
    abs(-0.52155347--0.52768939)×0.00101628422664835×R²
    0.00613592000000007×0.00101628422664835×6371000²
    0.00613592000000007×0.00101628422664835×40589641000000     		ar = 43140114.5286869m²