Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42595 / 48547
↖ ↑ ↗
← S 65.153040°
E 53.981324°		 ← 256.65 m → S 65.153040°
E 53.986816°		 →
↑
256.69 m
↓
↑
256.69 m
↓
S 65.155349°
E 53.981324°		 ← 256.63 m →
65 876 m²		 S 65.155349°
E 53.986816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649955749511719 y=0.740776062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649955749511719 × 216)
    floor (0.649955749511719 × 65536)
    floor (42595.5)     		tx = 42595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740776062011719 × 216)
    floor (0.740776062011719 × 65536)
    floor (48547.5)     		ty = 48547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42595 / 48547 ti = "16/42595/48547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42595/48547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42595 ÷ 216
    42595 ÷ 65536     		x = 0.649948120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48547 ÷ 216
    48547 ÷ 65536     		y = 0.740768432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649948120117188 × 2 - 1) × π
    0.299896240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94215183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740768432617188 × 2 - 1) × π
    -0.481536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51279267820973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94215183} λ = 0.94215183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51279267820973))-π/2
    2×atan(0.220293908120423)-π/2
    2×0.216830627359854-π/2
    0.433661254719708-1.57079632675     		φ = -1.13713507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94215183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.981324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13713507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.153040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42595 KachelY 48547 0.94215183 -1.13713507 53.981324 -65.153040
    Oben rechts KachelX + 1 42596 KachelY 48547 0.94224770 -1.13713507 53.986816 -65.153040
    Unten links KachelX 42595 KachelY + 1 48548 0.94215183 -1.13717536 53.981324 -65.155349
    Unten rechts KachelX + 1 42596 KachelY + 1 48548 0.94224770 -1.13717536 53.986816 -65.155349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13713507--1.13717536) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dl = 256.687590000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13713507--1.13717536) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dr = 256.687590000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94215183-0.94224770) × cos(-1.13713507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420195957989421 × 6371000     		do = 256.650552143366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94215183-0.94224770) × cos(-1.13717536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420159397157108 × 6371000     		du = 256.628221234129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13713507)-sin(-1.13717536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420195957989421-0.420159397157108)×R²
    abs(0.94224770-0.94215183)×3.65608323131261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65608323131261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65608323131261e-05×40589641000000     		ar = 65876.145677063m²