Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42594 / 48546
↖ ↑ ↗
← S 65.150732°
E 53.975830°		 ← 256.70 m → S 65.150732°
E 53.981324°		 →
↑
256.69 m
↓
↑
256.69 m
↓
S 65.153040°
E 53.975830°		 ← 256.68 m →
65 889 m²		 S 65.153040°
E 53.981324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649940490722656 y=0.740760803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649940490722656 × 216)
    floor (0.649940490722656 × 65536)
    floor (42594.5)     		tx = 42594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740760803222656 × 216)
    floor (0.740760803222656 × 65536)
    floor (48546.5)     		ty = 48546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42594 / 48546 ti = "16/42594/48546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42594/48546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42594 ÷ 216
    42594 ÷ 65536     		x = 0.649932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48546 ÷ 216
    48546 ÷ 65536     		y = 0.740753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649932861328125 × 2 - 1) × π
    0.29986572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.94205595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.48150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51269680441049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94205595} λ = 0.94205595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51269680441049))-π/2
    2×atan(0.220315029546823)-π/2
    2×0.216850771127449-π/2
    0.433701542254898-1.57079632675     		φ = -1.13709478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94205595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13709478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.150732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42594 KachelY 48546 0.94205595 -1.13709478 53.975830 -65.150732
    Oben rechts KachelX + 1 42595 KachelY 48546 0.94215183 -1.13709478 53.981324 -65.150732
    Unten links KachelX 42594 KachelY + 1 48547 0.94205595 -1.13713507 53.975830 -65.153040
    Unten rechts KachelX + 1 42595 KachelY + 1 48547 0.94215183 -1.13713507 53.981324 -65.153040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13709478--1.13713507) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dl = 256.687590000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13709478--1.13713507) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dr = 256.687590000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94205595-0.94215183) × cos(-1.13709478) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.420232518139637 × 6371000     		do = 256.699655649853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94205595-0.94215183) × cos(-1.13713507) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.420195957989421 × 6371000     		du = 256.677322827984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13709478)-sin(-1.13713507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420232518139637-0.420195957989421)×R²
    abs(0.94215183-0.94205595)×3.65601502157475e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.65601502157475e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.65601502157475e-05×40589641000000     		ar = 65888.7496925897m²