Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4259 / 4333
↖ ↑ ↗
← S 10.358152°
E  7.163086°		 ← 4 806.86 m → S 10.358152°
E  7.207031°		 →
↑
4 806.54 m
↓
↑
4 806.54 m
↓
S 10.401378°
E  7.163086°		 ← 4 806.19 m →
23 102 749 m²		 S 10.401378°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51995849609375 y=0.52899169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51995849609375 × 213)
    floor (0.51995849609375 × 8192)
    floor (4259.5)     		tx = 4259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52899169921875 × 213)
    floor (0.52899169921875 × 8192)
    floor (4333.5)     		ty = 4333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4259 / 4333 ti = "13/4259/4333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4259/4333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4259 ÷ 213
    4259 ÷ 8192     		x = 0.5198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4333 ÷ 213
    4333 ÷ 8192     		y = 0.5289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5198974609375 × 2 - 1) × π
    0.039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12501943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12501943} λ = 0.12501943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181776723359253))-π/2
    2×atan(0.83378748490283)-π/2
    2×0.695006240216739-π/2
    1.39001248043348-1.57079632675     		φ = -0.18078385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12501943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18078385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.358152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4259 KachelY 4333 0.12501943 -0.18078385 7.163086 -10.358152
    Oben rechts KachelX + 1 4260 KachelY 4333 0.12578642 -0.18078385 7.207031 -10.358152
    Unten links KachelX 4259 KachelY + 1 4334 0.12501943 -0.18153829 7.163086 -10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 4260 KachelY + 1 4334 0.12578642 -0.18153829 7.207031 -10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18078385--0.18153829) × R
    0.000754439999999995 × 6371000     		dl = 4806.53723999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18078385--0.18153829) × R
    0.000754439999999995 × 6371000     		dr = 4806.53723999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12501943-0.12578642) × cos(-0.18078385) × R
    0.000766990000000023 × 0.983703058224352 × 6371000     		do = 4806.85839336592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12501943-0.12578642) × cos(-0.18153829) × R
    0.000766990000000023 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 4806.19417828316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18078385)-sin(-0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983703058224352-0.983567129442025)×R²
    abs(0.12578642-0.12501943)×0.000135928782327155×R²
    0.000766990000000023×0.000135928782327155×6371000²
    0.000766990000000023×0.000135928782327155×40589641000000     		ar = 23102748.6836562m²