Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4257 / 3247
↖ ↑ ↗
← N 80.790554°
W133.231201°		 ← 195.52 m → N 80.790554°
W133.220215°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
N 80.788795°
W133.231201°		 ← 195.55 m →
38 232 m²		 N 80.788795°
W133.220215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129928588867188 y=0.0991058349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129928588867188 × 215)
    floor (0.129928588867188 × 32768)
    floor (4257.5)     		tx = 4257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991058349609375 × 215)
    floor (0.0991058349609375 × 32768)
    floor (3247.5)     		ty = 3247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4257 / 3247 ti = "15/4257/3247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4257/3247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4257 ÷ 215
    4257 ÷ 32768     		x = 0.129913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3247 ÷ 215
    3247 ÷ 32768     		y = 0.099090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.74017333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32532313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099090576171875 × 2 - 1) × π
    0.80181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51898820123471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32532313} λ = -2.32532313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51898820123471))-π/2
    2×atan(12.4160277844795)-π/2
    2×1.49042874812029-π/2
    2.98085749624058-1.57079632675     		φ = 1.41006117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32532313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.231201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41006117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.790554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4257 KachelY 3247 -2.32532313 1.41006117 -133.231201 80.790554
    Oben rechts KachelX + 1 4258 KachelY 3247 -2.32513138 1.41006117 -133.220215 80.790554
    Unten links KachelX 4257 KachelY + 1 3248 -2.32532313 1.41003048 -133.231201 80.788795
    Unten rechts KachelX + 1 4258 KachelY + 1 3248 -2.32513138 1.41003048 -133.220215 80.788795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41006117-1.41003048) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41006117-1.41003048) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32532313--2.32513138) × cos(1.41006117) × R
    0.000191749999999935 × 0.160043930342153 × 6371000     		do = 195.515947030174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32532313--2.32513138) × cos(1.41003048) × R
    0.000191749999999935 × 0.160074224669386 × 6371000     		du = 195.552955769374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41006117)-sin(1.41003048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160043930342153-0.160074224669386)×R²
    abs(-2.32513138--2.32532313)×3.02943272328937e-05×R²
    0.000191749999999935×3.02943272328937e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.02943272328937e-05×40589641000000     		ar = 38232.0671914362m²