Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4257 / 1249
↖ ↑ ↗
← N 82.018327°
W 86.462402°		 ← 339.26 m → N 82.018327°
W 86.440429°		 →
↑
339.32 m
↓
↑
339.32 m
↓
N 82.015276°
W 86.462402°		 ← 339.39 m →
115 141 m²		 N 82.015276°
W 86.440429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259857177734375 y=0.076263427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259857177734375 × 214)
    floor (0.259857177734375 × 16384)
    floor (4257.5)     		tx = 4257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.076263427734375 × 214)
    floor (0.076263427734375 × 16384)
    floor (1249.5)     		ty = 1249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4257 / 1249 ti = "14/4257/1249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4257/1249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4257 ÷ 214
    4257 ÷ 16384     		x = 0.25982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1249 ÷ 214
    1249 ÷ 16384     		y = 0.07623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.4803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50905360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07623291015625 × 2 - 1) × π
    0.8475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6626071524964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50905360} λ = -1.50905360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6626071524964))-π/2
    2×atan(14.3336103344268)-π/2
    2×1.50114309481116-π/2
    3.00228618962232-1.57079632675     		φ = 1.43148986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50905360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.462402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43148986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.018327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4257 KachelY 1249 -1.50905360 1.43148986 -86.462402 82.018327
    Oben rechts KachelX + 1 4258 KachelY 1249 -1.50867010 1.43148986 -86.440429 82.018327
    Unten links KachelX 4257 KachelY + 1 1250 -1.50905360 1.43143660 -86.462402 82.015276
    Unten rechts KachelX + 1 4258 KachelY + 1 1250 -1.50867010 1.43143660 -86.440429 82.015276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43148986-1.43143660) × R
    5.32599999998329e-05 × 6371000     		dl = 339.319459998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43148986-1.43143660) × R
    5.32599999998329e-05 × 6371000     		dr = 339.319459998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50905360--1.50867010) × cos(1.43148986) × R
    0.000383500000000092 × 0.13885633346639 × 6371000     		do = 339.264694147342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50905360--1.50867010) × cos(1.43143660) × R
    0.000383500000000092 × 0.138909077315082 × 6371000     		du = 339.393562058859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43148986)-sin(1.43143660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13885633346639-0.138909077315082)×R²
    abs(-1.50867010--1.50905360)×5.27438486922771e-05×R²
    0.000383500000000092×5.27438486922771e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.27438486922771e-05×40589641000000     		ar = 115140.976537527m²