Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42563 / 48590
↖ ↑ ↗
← S 65.252108°
E 53.805542°		 ← 255.72 m → S 65.252108°
E 53.811035°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
S 65.254407°
E 53.805542°		 ← 255.70 m →
65 393 m²		 S 65.254407°
E 53.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649467468261719 y=0.741432189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649467468261719 × 216)
    floor (0.649467468261719 × 65536)
    floor (42563.5)     		tx = 42563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741432189941406 × 216)
    floor (0.741432189941406 × 65536)
    floor (48590.5)     		ty = 48590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42563 / 48590 ti = "16/42563/48590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42563/48590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42563 ÷ 216
    42563 ÷ 65536     		x = 0.649459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48590 ÷ 216
    48590 ÷ 65536     		y = 0.741424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649459838867188 × 2 - 1) × π
    0.298919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93908386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.48284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51691525157706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93908386} λ = 0.93908386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51691525157706))-π/2
    2×atan(0.219387599766767)-π/2
    2×0.215966101549771-π/2
    0.431932203099541-1.57079632675     		φ = -1.13886412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93908386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13886412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.252108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42563 KachelY 48590 0.93908386 -1.13886412 53.805542 -65.252108
    Oben rechts KachelX + 1 42564 KachelY 48590 0.93917974 -1.13886412 53.811035 -65.252108
    Unten links KachelX 42563 KachelY + 1 48591 0.93908386 -1.13890426 53.805542 -65.254407
    Unten rechts KachelX + 1 42564 KachelY + 1 48591 0.93917974 -1.13890426 53.811035 -65.254407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13886412--1.13890426) × R
    4.01399999998553e-05 × 6371000     		dl = 255.731939999078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13886412--1.13890426) × R
    4.01399999998553e-05 × 6371000     		dr = 255.731939999078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93908386-0.93917974) × cos(-1.13886412) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.418626332956921 × 6371000     		do = 255.718515053836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93908386-0.93917974) × cos(-1.13890426) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.418589879134569 × 6371000     		du = 255.696247182501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13886412)-sin(-1.13890426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418626332956921-0.418589879134569)×R²
    abs(0.93917974-0.93908386)×3.64538223519006e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.64538223519006e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.64538223519006e-05×40589641000000     		ar = 65392.5446542826m²