Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42561 / 91842
↖ ↑ ↗
← S 58.358512°
W 63.102722°		 ← 160.23 m → S 58.358512°
W 63.099975°		 →
↑
160.23 m
↓
↑
160.23 m
↓
S 58.359953°
W 63.102722°		 ← 160.22 m →
25 673 m²		 S 58.359953°
W 63.099975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324718475341797 y=0.700702667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324718475341797 × 217)
    floor (0.324718475341797 × 131072)
    floor (42561.5)     		tx = 42561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700702667236328 × 217)
    floor (0.700702667236328 × 131072)
    floor (91842.5)     		ty = 91842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42561 / 91842 ti = "17/42561/91842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42561/91842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42561 ÷ 217
    42561 ÷ 131072     		x = 0.324714660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91842 ÷ 217
    91842 ÷ 131072     		y = 0.700698852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324714660644531 × 2 - 1) × π
    -0.350570678710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.10135027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700698852539062 × 2 - 1) × π
    -0.401397705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.2610280814052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10135027} λ = -1.10135027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2610280814052))-π/2
    2×atan(0.283362556922515)-π/2
    2×0.27612407110916-π/2
    0.55224814221832-1.57079632675     		φ = -1.01854818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10135027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.102722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01854818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.358512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42561 KachelY 91842 -1.10135027 -1.01854818 -63.102722 -58.358512
    Oben rechts KachelX + 1 42562 KachelY 91842 -1.10130233 -1.01854818 -63.099975 -58.358512
    Unten links KachelX 42561 KachelY + 1 91843 -1.10135027 -1.01857333 -63.102722 -58.359953
    Unten rechts KachelX + 1 42562 KachelY + 1 91843 -1.10130233 -1.01857333 -63.099975 -58.359953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01854818--1.01857333) × R
    2.51499999999183e-05 × 6371000     		dl = 160.230649999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01854818--1.01857333) × R
    2.51499999999183e-05 × 6371000     		dr = 160.230649999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10135027--1.10130233) × cos(-1.01854818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.524602506715095 × 6371000     		do = 160.227108819208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10135027--1.10130233) × cos(-1.01857333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.524581095164817 × 6371000     		du = 160.220569180619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01854818)-sin(-1.01857333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524602506715095-0.524581095164817)×R²
    abs(-1.10130233--1.10135027)×2.14115502785717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14115502785717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14115502785717e-05×40589641000000     		ar = 25672.7698696374m²