Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42561 / 48574
↖ ↑ ↗
← S 65.215289°
E 53.794556°		 ← 256.05 m → S 65.215289°
E 53.800049°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
S 65.217591°
E 53.794556°		 ← 256.03 m →
65 558 m²		 S 65.217591°
E 53.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649436950683594 y=0.741188049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649436950683594 × 216)
    floor (0.649436950683594 × 65536)
    floor (42561.5)     		tx = 42561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741188049316406 × 216)
    floor (0.741188049316406 × 65536)
    floor (48574.5)     		ty = 48574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42561 / 48574 ti = "16/42561/48574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42561/48574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42561 ÷ 216
    42561 ÷ 65536     		x = 0.649429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48574 ÷ 216
    48574 ÷ 65536     		y = 0.741180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649429321289062 × 2 - 1) × π
    0.298858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93889212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.48236083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51538127078922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93889212} λ = 0.93889212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51538127078922))-π/2
    2×atan(0.219724394382092)-π/2
    2×0.216287407654577-π/2
    0.432574815309154-1.57079632675     		φ = -1.13822151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93889212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13822151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.215289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42561 KachelY 48574 0.93889212 -1.13822151 53.794556 -65.215289
    Oben rechts KachelX + 1 42562 KachelY 48574 0.93898799 -1.13822151 53.800049 -65.215289
    Unten links KachelX 42561 KachelY + 1 48575 0.93889212 -1.13826170 53.794556 -65.217591
    Unten rechts KachelX + 1 42562 KachelY + 1 48575 0.93898799 -1.13826170 53.800049 -65.217591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13822151--1.13826170) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13822151--1.13826170) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93889212-0.93898799) × cos(-1.13822151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419209838261855 × 6371000     		do = 256.048242274013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93889212-0.93898799) × cos(-1.13826170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419173349849449 × 6371000     		du = 256.025955597969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13822151)-sin(-1.13826170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419209838261855-0.419173349849449)×R²
    abs(0.93898799-0.93889212)×3.64884124059994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64884124059994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64884124059994e-05×40589641000000     		ar = 65558.4246496176m²