Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42560 / 91840
↖ ↑ ↗
← S 58.355631°
W 63.105469°		 ← 160.24 m → S 58.355631°
W 63.102722°		 →
↑
160.23 m
↓
↑
160.23 m
↓
S 58.357072°
W 63.105469°		 ← 160.23 m →
25 675 m²		 S 58.357072°
W 63.102722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324710845947266 y=0.700687408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324710845947266 × 217)
    floor (0.324710845947266 × 131072)
    floor (42560.5)     		tx = 42560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700687408447266 × 217)
    floor (0.700687408447266 × 131072)
    floor (91840.5)     		ty = 91840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42560 / 91840 ti = "17/42560/91840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42560/91840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42560 ÷ 217
    42560 ÷ 131072     		x = 0.32470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91840 ÷ 217
    91840 ÷ 131072     		y = 0.70068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10139821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10139821} λ = -1.10139821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26093220760596))-π/2
    2×atan(0.283389725269755)-π/2
    2×0.276149219953002-π/2
    0.552298439906003-1.57079632675     		φ = -1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10139821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42560 KachelY 91840 -1.10139821 -1.01849789 -63.105469 -58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 42561 KachelY 91840 -1.10135027 -1.01849789 -63.102722 -58.355631
    Unten links KachelX 42560 KachelY + 1 91841 -1.10139821 -1.01852304 -63.105469 -58.357072
    Unten rechts KachelX + 1 42561 KachelY + 1 91841 -1.10135027 -1.01852304 -63.102722 -58.357072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01849789--1.01852304) × R
    2.51500000001403e-05 × 6371000     		dl = 160.230650000894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01849789--1.01852304) × R
    2.51500000001403e-05 × 6371000     		dr = 160.230650000894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10139821--1.10135027) × cos(-1.01849789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 160.240185192186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10139821--1.10135027) × cos(-1.01852304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.52462390942021 × 6371000     		du = 160.233645756256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01849789)-sin(-1.01852304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.52462390942021)×R²
    abs(-1.10135027--1.10139821)×2.14108867513385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14108867513385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14108867513385e-05×40589641000000     		ar = 25674.8651219272m²