Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42560 / 48589
↖ ↑ ↗
← S 65.249808°
E 53.789062°		 ← 255.74 m → S 65.249808°
E 53.794556°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 65.252108°
E 53.789062°		 ← 255.72 m →
65 382 m²		 S 65.252108°
E 53.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649421691894531 y=0.741416931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649421691894531 × 216)
    floor (0.649421691894531 × 65536)
    floor (42560.5)     		tx = 42560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741416931152344 × 216)
    floor (0.741416931152344 × 65536)
    floor (48589.5)     		ty = 48589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42560 / 48589 ti = "16/42560/48589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42560/48589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42560 ÷ 216
    42560 ÷ 65536     		x = 0.6494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48589 ÷ 216
    48589 ÷ 65536     		y = 0.741409301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741409301757812 × 2 - 1) × π
    -0.482818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51681937777782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93879624} λ = 0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51681937777782))-π/2
    2×atan(0.219408634297777)-π/2
    2×0.215986170071762-π/2
    0.431972340143524-1.57079632675     		φ = -1.13882399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13882399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.249808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42560 KachelY 48589 0.93879624 -1.13882399 53.789062 -65.249808
    Oben rechts KachelX + 1 42561 KachelY 48589 0.93889212 -1.13882399 53.794556 -65.249808
    Unten links KachelX 42560 KachelY + 1 48590 0.93879624 -1.13886412 53.789062 -65.252108
    Unten rechts KachelX + 1 42561 KachelY + 1 48590 0.93889212 -1.13886412 53.794556 -65.252108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13882399--1.13886412) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dl = 255.66823000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13882399--1.13886412) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dr = 255.66823000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93879624-0.93889212) × cos(-1.13882399) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.418662777023356 × 6371000     		do = 255.740776965755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93879624-0.93889212) × cos(-1.13886412) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.418626332956921 × 6371000     		du = 255.718515053836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13882399)-sin(-1.13886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418662777023356-0.418626332956921)×R²
    abs(0.93889212-0.93879624)×3.64440664354371e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.64440664354371e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.64440664354371e-05×40589641000000     		ar = 65381.9459627413m²