Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42560 / 48578
↖ ↑ ↗
← S 65.224498°
E 53.789062°		 ← 255.99 m → S 65.224498°
E 53.794556°		 →
↑
255.92 m
↓
↑
255.92 m
↓
S 65.226800°
E 53.789062°		 ← 255.96 m →
65 510 m²		 S 65.226800°
E 53.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649421691894531 y=0.741249084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649421691894531 × 216)
    floor (0.649421691894531 × 65536)
    floor (42560.5)     		tx = 42560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741249084472656 × 216)
    floor (0.741249084472656 × 65536)
    floor (48578.5)     		ty = 48578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42560 / 48578 ti = "16/42560/48578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42560/48578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42560 ÷ 216
    42560 ÷ 65536     		x = 0.6494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48578 ÷ 216
    48578 ÷ 65536     		y = 0.741241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.48248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51576476598618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93879624} λ = 0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51576476598618))-π/2
    2×atan(0.219640147287402)-π/2
    2×0.216207039167245-π/2
    0.432414078334489-1.57079632675     		φ = -1.13838225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13838225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.224498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42560 KachelY 48578 0.93879624 -1.13838225 53.789062 -65.224498
    Oben rechts KachelX + 1 42561 KachelY 48578 0.93889212 -1.13838225 53.794556 -65.224498
    Unten links KachelX 42560 KachelY + 1 48579 0.93879624 -1.13842242 53.789062 -65.226800
    Unten rechts KachelX + 1 42561 KachelY + 1 48579 0.93889212 -1.13842242 53.794556 -65.226800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13838225--1.13842242) × R
    4.0169999999895e-05 × 6371000     		dl = 255.923069999331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13838225--1.13842242) × R
    4.0169999999895e-05 × 6371000     		dr = 255.923069999331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93879624-0.93889212) × cos(-1.13838225) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.419063898709218 × 6371000     		do = 255.985802741224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93879624-0.93889212) × cos(-1.13842242) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.419027425748718 × 6371000     		du = 255.963523179323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13838225)-sin(-1.13842242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419063898709218-0.419027425748718)×R²
    abs(0.93889212-0.93879624)×3.64729604994674e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.64729604994674e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.64729604994674e-05×40589641000000     		ar = 65509.8215955382m²