Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4255 / 4269
↖ ↑ ↗
← S  7.580328°
E  6.987305°		 ← 4 843.79 m → S  7.580328°
E  7.031250°		 →
↑
4 843.55 m
↓
↑
4 843.55 m
↓
S  7.623887°
E  6.987305°		 ← 4 843.30 m →
23 459 962 m²		 S  7.623887°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51947021484375 y=0.52117919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51947021484375 × 213)
    floor (0.51947021484375 × 8192)
    floor (4255.5)     		tx = 4255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52117919921875 × 213)
    floor (0.52117919921875 × 8192)
    floor (4269.5)     		ty = 4269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4255 / 4269 ti = "13/4255/4269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4255/4269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4255 ÷ 213
    4255 ÷ 8192     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4269 ÷ 213
    4269 ÷ 8192     		y = 0.5211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.132689338148315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.132689338148315))-π/2
    2×atan(0.875737107965658)-π/2
    2×0.719247324229758-π/2
    1.43849464845952-1.57079632675     		φ = -0.13230168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13230168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.580328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4255 KachelY 4269 0.12195147 -0.13230168 6.987305 -7.580328
    Oben rechts KachelX + 1 4256 KachelY 4269 0.12271846 -0.13230168 7.031250 -7.580328
    Unten links KachelX 4255 KachelY + 1 4270 0.12195147 -0.13306193 6.987305 -7.623887
    Unten rechts KachelX + 1 4256 KachelY + 1 4270 0.12271846 -0.13306193 7.031250 -7.623887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13230168--0.13306193) × R
    0.00076024999999999 × 6371000     		dl = 4843.55274999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13230168--0.13306193) × R
    0.00076024999999999 × 6371000     		dr = 4843.55274999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12271846) × cos(-0.13230168) × R
    0.000766989999999995 × 0.991260891152012 × 6371000     		do = 4843.7896932537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12271846) × cos(-0.13306193) × R
    0.000766989999999995 × 0.991160315516052 × 6371000     		du = 4843.29823108344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13230168)-sin(-0.13306193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991260891152012-0.991160315516052)×R²
    abs(0.12271846-0.12195147)×0.000100575635959776×R²
    0.000766989999999995×0.000100575635959776×6371000²
    0.000766989999999995×0.000100575635959776×40589641000000     		ar = 23459961.8076565m²