Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42545 / 48562
↖ ↑ ↗
← S 65.187641°
E 53.706665°		 ← 256.32 m → S 65.187641°
E 53.712158°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 65.189946°
E 53.706665°		 ← 256.29 m →
65 709 m²		 S 65.189946°
E 53.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649192810058594 y=0.741004943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649192810058594 × 216)
    floor (0.649192810058594 × 65536)
    floor (42545.5)     		tx = 42545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741004943847656 × 216)
    floor (0.741004943847656 × 65536)
    floor (48562.5)     		ty = 48562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42545 / 48562 ti = "16/42545/48562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42545/48562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42545 ÷ 216
    42545 ÷ 65536     		x = 0.649185180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48562 ÷ 216
    48562 ÷ 65536     		y = 0.740997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649185180664062 × 2 - 1) × π
    0.298370361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93735814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93735814} λ = 0.93735814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51423078519833))-π/2
    2×atan(0.219977329603059)-π/2
    2×0.216528681068433-π/2
    0.433057362136866-1.57079632675     		φ = -1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93735814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42545 KachelY 48562 0.93735814 -1.13773896 53.706665 -65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 42546 KachelY 48562 0.93745401 -1.13773896 53.712158 -65.187641
    Unten links KachelX 42545 KachelY + 1 48563 0.93735814 -1.13777920 53.706665 -65.189946
    Unten rechts KachelX + 1 42546 KachelY + 1 48563 0.93745401 -1.13777920 53.712158 -65.189946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13773896--1.13777920) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dl = 256.36903999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13773896--1.13777920) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dr = 256.36903999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93735814-0.93745401) × cos(-1.13773896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 256.315799806255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93735814-0.93745401) × cos(-1.13777920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419611365790105 × 6371000     		du = 256.293490377587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13773896)-sin(-1.13777920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.419611365790105)×R²
    abs(0.93745401-0.93735814)×3.65256636810085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65256636810085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65256636810085e-05×40589641000000     		ar = 65708.5758186566m²