Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4254 / 4268
↖ ↑ ↗
← S  7.536764°
E  6.943359°		 ← 4 844.28 m → S  7.536764°
E  6.987305°		 →
↑
4 844.06 m
↓
↑
4 844.06 m
↓
S  7.580328°
E  6.943359°		 ← 4 843.79 m →
23 464 804 m²		 S  7.580328°
E  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51934814453125 y=0.52105712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51934814453125 × 213)
    floor (0.51934814453125 × 8192)
    floor (4254.5)     		tx = 4254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52105712890625 × 213)
    floor (0.52105712890625 × 8192)
    floor (4268.5)     		ty = 4268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4254 / 4268 ti = "13/4254/4268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4254/4268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4254 ÷ 213
    4254 ÷ 8192     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4268 ÷ 213
    4268 ÷ 8192     		y = 0.52099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.131922347754395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.131922347754395))-π/2
    2×atan(0.876409047567737)-π/2
    2×0.719627487215715-π/2
    1.43925497443143-1.57079632675     		φ = -0.13154135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13154135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.536764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4254 KachelY 4268 0.12118448 -0.13154135 6.943359 -7.536764
    Oben rechts KachelX + 1 4255 KachelY 4268 0.12195147 -0.13154135 6.987305 -7.536764
    Unten links KachelX 4254 KachelY + 1 4269 0.12118448 -0.13230168 6.943359 -7.580328
    Unten rechts KachelX + 1 4255 KachelY + 1 4269 0.12195147 -0.13230168 6.987305 -7.580328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13154135--0.13230168) × R
    0.000760330000000004 × 6371000     		dl = 4844.06243000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13154135--0.13230168) × R
    0.000760330000000004 × 6371000     		dr = 4844.06243000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12195147) × cos(-0.13154135) × R
    0.000766990000000009 × 0.991360904351957 × 6371000     		do = 4844.27840708423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12195147) × cos(-0.13230168) × R
    0.000766990000000009 × 0.991260891152012 × 6371000     		du = 4843.78969325379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13154135)-sin(-0.13230168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991360904351957-0.991260891152012)×R²
    abs(0.12195147-0.12118448)×0.000100013199945237×R²
    0.000766990000000009×0.000100013199945237×6371000²
    0.000766990000000009×0.000100013199945237×40589641000000     		ar = 23464804.4824849m²