Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4253 / 4305
↖ ↑ ↗
← S  9.145486°
E  6.899414°		 ← 4 824.38 m → S  9.145486°
E  6.943359°		 →
↑
4 824.12 m
↓
↑
4 824.12 m
↓
S  9.188870°
E  6.899414°		 ← 4 823.79 m →
23 271 953 m²		 S  9.188870°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51922607421875 y=0.52557373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51922607421875 × 213)
    floor (0.51922607421875 × 8192)
    floor (4253.5)     		tx = 4253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52557373046875 × 213)
    floor (0.52557373046875 × 8192)
    floor (4305.5)     		ty = 4305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4253 / 4305 ti = "13/4253/4305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4253/4305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4253 ÷ 213
    4253 ÷ 8192     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4305 ÷ 213
    4305 ÷ 8192     		y = 0.5255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.160300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160300992329468))-π/2
    2×atan(0.851887338818829)-π/2
    2×0.705588741712035-π/2
    1.41117748342407-1.57079632675     		φ = -0.15961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.145486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4253 KachelY 4305 0.12041749 -0.15961884 6.899414 -9.145486
    Oben rechts KachelX + 1 4254 KachelY 4305 0.12118448 -0.15961884 6.943359 -9.145486
    Unten links KachelX 4253 KachelY + 1 4306 0.12041749 -0.16037604 6.899414 -9.188870
    Unten rechts KachelX + 1 4254 KachelY + 1 4306 0.12118448 -0.16037604 6.943359 -9.188870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15961884--0.16037604) × R
    0.000757199999999986 × 6371000     		dl = 4824.12119999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15961884--0.16037604) × R
    0.000757199999999986 × 6371000     		dr = 4824.12119999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12118448) × cos(-0.15961884) × R
    0.000766989999999995 × 0.987287937388147 × 6371000     		do = 4824.37588134509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12118448) × cos(-0.16037604) × R
    0.000766989999999995 × 0.987167303558654 × 6371000     		du = 4823.78640494672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15961884)-sin(-0.16037604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987287937388147-0.987167303558654)×R²
    abs(0.12118448-0.12041749)×0.000120633829493122×R²
    0.000766989999999995×0.000120633829493122×6371000²
    0.000766989999999995×0.000120633829493122×40589641000000     		ar = 23271953.2250881m²