Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4253 / 12349
↖ ↑ ↗
← N 40.472024°
W133.275147°		 ← 929.33 m → N 40.472024°
W133.264160°		 →
↑
929.40 m
↓
↑
929.40 m
↓
N 40.463666°
W133.275147°		 ← 929.44 m →
863 774 m²		 N 40.463666°
W133.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129806518554688 y=0.376876831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129806518554688 × 215)
    floor (0.129806518554688 × 32768)
    floor (4253.5)     		tx = 4253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376876831054688 × 215)
    floor (0.376876831054688 × 32768)
    floor (12349.5)     		ty = 12349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4253 / 12349 ti = "15/4253/12349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4253/12349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4253 ÷ 215
    4253 ÷ 32768     		x = 0.129791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12349 ÷ 215
    12349 ÷ 32768     		y = 0.376861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.74041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32609012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376861572265625 × 2 - 1) × π
    0.24627685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.773701559867706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32609012} λ = -2.32609012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773701559867706))-π/2
    2×atan(2.16777557221438)-π/2
    2×1.1385832037259-π/2
    2.27716640745181-1.57079632675     		φ = 0.70637008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32609012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.275147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70637008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.472024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4253 KachelY 12349 -2.32609012 0.70637008 -133.275147 40.472024
    Oben rechts KachelX + 1 4254 KachelY 12349 -2.32589837 0.70637008 -133.264160 40.472024
    Unten links KachelX 4253 KachelY + 1 12350 -2.32609012 0.70622420 -133.275147 40.463666
    Unten rechts KachelX + 1 4254 KachelY + 1 12350 -2.32589837 0.70622420 -133.264160 40.463666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70637008-0.70622420) × R
    0.000145880000000043 × 6371000     		dl = 929.401480000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70637008-0.70622420) × R
    0.000145880000000043 × 6371000     		dr = 929.401480000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32609012--2.32589837) × cos(0.70637008) × R
    0.000191749999999935 × 0.760722979032937 × 6371000     		do = 929.329049563248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32609012--2.32589837) × cos(0.70622420) × R
    0.000191749999999935 × 0.760817658245638 × 6371000     		du = 929.444713405643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70637008)-sin(0.70622420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760722979032937-0.760817658245638)×R²
    abs(-2.32589837--2.32609012)×9.46792127011209e-05×R²
    0.000191749999999935×9.46792127011209e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.46792127011209e-05×40589641000000     		ar = 863773.544676636m²