Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4252 / 4327
↖ ↑ ↗
← S 10.098670°
E  6.855469°		 ← 4 810.79 m → S 10.098670°
E  6.899414°		 →
↑
4 810.49 m
↓
↑
4 810.49 m
↓
S 10.141932°
E  6.855469°		 ← 4 810.14 m →
23 140 676 m²		 S 10.141932°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51910400390625 y=0.52825927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51910400390625 × 213)
    floor (0.51910400390625 × 8192)
    floor (4252.5)     		tx = 4252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52825927734375 × 213)
    floor (0.52825927734375 × 8192)
    floor (4327.5)     		ty = 4327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4252 / 4327 ti = "13/4252/4327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4252/4327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4252 ÷ 213
    4252 ÷ 8192     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4327 ÷ 213
    4327 ÷ 8192     		y = 0.5281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.056396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.177174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177174780995728))-π/2
    2×atan(0.837633369333724)-π/2
    2×0.69727064156129-π/2
    1.39454128312258-1.57079632675     		φ = -0.17625504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17625504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.098670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4252 KachelY 4327 0.11965050 -0.17625504 6.855469 -10.098670
    Oben rechts KachelX + 1 4253 KachelY 4327 0.12041749 -0.17625504 6.899414 -10.098670
    Unten links KachelX 4252 KachelY + 1 4328 0.11965050 -0.17701010 6.855469 -10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 4253 KachelY + 1 4328 0.12041749 -0.17701010 6.899414 -10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17625504--0.17701010) × R
    0.000755060000000002 × 6371000     		dl = 4810.48726000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17625504--0.17701010) × R
    0.000755060000000002 × 6371000     		dr = 4810.48726000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(-0.17625504) × R
    0.000766989999999995 × 0.984507250751501 × 6371000     		do = 4810.78807475353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(-0.17701010) × R
    0.000766989999999995 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 4810.13975548207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17625504)-sin(-0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984507250751501-0.984374574979126)×R²
    abs(0.12041749-0.11965050)×0.000132675772375856×R²
    0.000766989999999995×0.000132675772375856×6371000²
    0.000766989999999995×0.000132675772375856×40589641000000     		ar = 23140676.4777683m²