Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4252 / 4316
↖ ↑ ↗
← S  9.622414°
E  6.855469°		 ← 4 817.74 m → S  9.622414°
E  6.899414°		 →
↑
4 817.43 m
↓
↑
4 817.43 m
↓
S  9.665738°
E  6.855469°		 ← 4 817.12 m →
23 207 662 m²		 S  9.665738°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51910400390625 y=0.52691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51910400390625 × 213)
    floor (0.51910400390625 × 8192)
    floor (4252.5)     		tx = 4252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52691650390625 × 213)
    floor (0.52691650390625 × 8192)
    floor (4316.5)     		ty = 4316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4252 / 4316 ti = "13/4252/4316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4252/4316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4252 ÷ 213
    4252 ÷ 8192     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4316 ÷ 213
    4316 ÷ 8192     		y = 0.52685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.168737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168737886662598))-π/2
    2×atan(0.844730289446019)-π/2
    2×0.701426759007573-π/2
    1.40285351801515-1.57079632675     		φ = -0.16794281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16794281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.622414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4252 KachelY 4316 0.11965050 -0.16794281 6.855469 -9.622414
    Oben rechts KachelX + 1 4253 KachelY 4316 0.12041749 -0.16794281 6.899414 -9.622414
    Unten links KachelX 4252 KachelY + 1 4317 0.11965050 -0.16869896 6.855469 -9.665738
    Unten rechts KachelX + 1 4253 KachelY + 1 4317 0.12041749 -0.16869896 6.899414 -9.665738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16794281--0.16869896) × R
    0.000756150000000011 × 6371000     		dl = 4817.43165000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16794281--0.16869896) × R
    0.000756150000000011 × 6371000     		dr = 4817.43165000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(-0.16794281) × R
    0.000766989999999995 × 0.985930721388994 × 6371000     		do = 4817.74385447215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(-0.16869896) × R
    0.000766989999999995 × 0.985804045698839 × 6371000     		du = 4817.1248545622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16794281)-sin(-0.16869896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985930721388994-0.985804045698839)×R²
    abs(0.12041749-0.11965050)×0.000126675690154454×R²
    0.000766989999999995×0.000126675690154454×6371000²
    0.000766989999999995×0.000126675690154454×40589641000000     		ar = 23207661.8370215m²