Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4252 / 12348
↖ ↑ ↗
← N 40.480382°
W133.286133°		 ← 929.16 m → N 40.480382°
W133.275147°		 →
↑
929.27 m
↓
↑
929.27 m
↓
N 40.472024°
W133.286133°		 ← 929.28 m →
863 503 m²		 N 40.472024°
W133.275147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129776000976562 y=0.376846313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129776000976562 × 215)
    floor (0.129776000976562 × 32768)
    floor (4252.5)     		tx = 4252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376846313476562 × 215)
    floor (0.376846313476562 × 32768)
    floor (12348.5)     		ty = 12348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4252 / 12348 ti = "15/4252/12348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4252/12348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4252 ÷ 215
    4252 ÷ 32768     		x = 0.1297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12348 ÷ 215
    12348 ÷ 32768     		y = 0.3768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1297607421875 × 2 - 1) × π
    -0.740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32628186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3768310546875 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.773893307466187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32628186} λ = -2.32628186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773893307466187))-π/2
    2×atan(2.1681912778284)-π/2
    2×1.13865613258936-π/2
    2.27731226517872-1.57079632675     		φ = 0.70651594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32628186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70651594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.480382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4252 KachelY 12348 -2.32628186 0.70651594 -133.286133 40.480382
    Oben rechts KachelX + 1 4253 KachelY 12348 -2.32609012 0.70651594 -133.275147 40.480382
    Unten links KachelX 4252 KachelY + 1 12349 -2.32628186 0.70637008 -133.286133 40.472024
    Unten rechts KachelX + 1 4253 KachelY + 1 12349 -2.32609012 0.70637008 -133.275147 40.472024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70651594-0.70637008) × R
    0.000145859999999942 × 6371000     		dl = 929.274059999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70651594-0.70637008) × R
    0.000145859999999942 × 6371000     		dr = 929.274059999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32628186--2.32609012) × cos(0.70651594) × R
    0.000191739999999996 × 0.760628296615062 × 6371000     		do = 929.164922176805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32628186--2.32609012) × cos(0.70637008) × R
    0.000191739999999996 × 0.760722979032937 × 6371000     		du = 929.280583902548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70651594)-sin(0.70637008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760628296615062-0.760722979032937)×R²
    abs(-2.32609012--2.32628186)×9.46824178743588e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46824178743588e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46824178743588e-05×40589641000000     		ar = 863502.601892283m²