Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42506 / 48635
↖ ↑ ↗
← S 65.355387°
E 53.492432°		 ← 254.69 m → S 65.355387°
E 53.497925°		 →
↑
254.65 m
↓
↑
254.65 m
↓
S 65.357677°
E 53.492432°		 ← 254.67 m →
64 854 m²		 S 65.357677°
E 53.497925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648597717285156 y=0.742118835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648597717285156 × 216)
    floor (0.648597717285156 × 65536)
    floor (42506.5)     		tx = 42506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742118835449219 × 216)
    floor (0.742118835449219 × 65536)
    floor (48635.5)     		ty = 48635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42506 / 48635 ti = "16/42506/48635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42506/48635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42506 ÷ 216
    42506 ÷ 65536     		x = 0.648590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48635 ÷ 216
    48635 ÷ 65536     		y = 0.742111206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648590087890625 × 2 - 1) × π
    0.29718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93361906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742111206054688 × 2 - 1) × π
    -0.484222412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52122957254286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93361906} λ = 0.93361906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52122957254286))-π/2
    2×atan(0.218443130083114)-π/2
    2×0.215064824657847-π/2
    0.430129649315694-1.57079632675     		φ = -1.14066668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93361906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.492432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14066668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.355387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42506 KachelY 48635 0.93361906 -1.14066668 53.492432 -65.355387
    Oben rechts KachelX + 1 42507 KachelY 48635 0.93371493 -1.14066668 53.497925 -65.355387
    Unten links KachelX 42506 KachelY + 1 48636 0.93361906 -1.14070665 53.492432 -65.357677
    Unten rechts KachelX + 1 42507 KachelY + 1 48636 0.93371493 -1.14070665 53.497925 -65.357677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14066668--1.14070665) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dl = 254.648870000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14066668--1.14070665) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dr = 254.648870000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93361906-0.93371493) × cos(-1.14066668) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.416988643421554 × 6371000     		do = 254.691563631065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93361906-0.93371493) × cos(-1.14070665) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		du = 254.669373996269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14066668)-sin(-1.14070665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416988643421554-0.416952313887981)×R²
    abs(0.93371493-0.93361906)×3.63295335730762e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.63295335730762e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.63295335730762e-05×40589641000000     		ar = 64854.093603115m²