Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42503 / 48680
↖ ↑ ↗
← S 65.458261°
E 53.475952°		 ← 253.69 m → S 65.458261°
E 53.481445°		 →
↑
253.69 m
↓
↑
253.69 m
↓
S 65.460543°
E 53.475952°		 ← 253.67 m →
64 358 m²		 S 65.460543°
E 53.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648551940917969 y=0.742805480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648551940917969 × 216)
    floor (0.648551940917969 × 65536)
    floor (42503.5)     		tx = 42503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742805480957031 × 216)
    floor (0.742805480957031 × 65536)
    floor (48680.5)     		ty = 48680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42503 / 48680 ti = "16/42503/48680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42503/48680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42503 ÷ 216
    42503 ÷ 65536     		x = 0.648544311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48680 ÷ 216
    48680 ÷ 65536     		y = 0.7427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648544311523438 × 2 - 1) × π
    0.297088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93333144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52554389350867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93333144} λ = 0.93333144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52554389350867))-π/2
    2×atan(0.217502726367566)-π/2
    2×0.214167075052936-π/2
    0.428334150105872-1.57079632675     		φ = -1.14246218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93333144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14246218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.458261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42503 KachelY 48680 0.93333144 -1.14246218 53.475952 -65.458261
    Oben rechts KachelX + 1 42504 KachelY 48680 0.93342731 -1.14246218 53.481445 -65.458261
    Unten links KachelX 42503 KachelY + 1 48681 0.93333144 -1.14250200 53.475952 -65.460543
    Unten rechts KachelX + 1 42504 KachelY + 1 48681 0.93342731 -1.14250200 53.481445 -65.460543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14246218--1.14250200) × R
    3.98199999998017e-05 × 6371000     		dl = 253.693219998737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14246218--1.14250200) × R
    3.98199999998017e-05 × 6371000     		dr = 253.693219998737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93333144-0.93342731) × cos(-1.14246218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415356021200072 × 6371000     		do = 253.694377944859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93333144-0.93342731) × cos(-1.14250200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415319798252041 × 6371000     		du = 253.672253411209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14246218)-sin(-1.14250200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415356021200072-0.415319798252041)×R²
    abs(0.93342731-0.93333144)×3.62229480310172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62229480310172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62229480310172e-05×40589641000000     		ar = 64357.7372228291m²