Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42502 / 48683
↖ ↑ ↗
← S 65.465105°
E 53.470459°		 ← 253.65 m → S 65.465105°
E 53.475952°		 →
↑
253.63 m
↓
↑
253.63 m
↓
S 65.467386°
E 53.470459°		 ← 253.63 m →
64 331 m²		 S 65.467386°
E 53.475952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648536682128906 y=0.742851257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648536682128906 × 216)
    floor (0.648536682128906 × 65536)
    floor (42502.5)     		tx = 42502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742851257324219 × 216)
    floor (0.742851257324219 × 65536)
    floor (48683.5)     		ty = 48683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42502 / 48683 ti = "16/42502/48683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42502/48683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42502 ÷ 216
    42502 ÷ 65536     		x = 0.648529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48683 ÷ 216
    48683 ÷ 65536     		y = 0.742843627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648529052734375 × 2 - 1) × π
    0.29705810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93323556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742843627929688 × 2 - 1) × π
    -0.485687255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52583151490639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93323556} λ = 0.93323556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52583151490639))-π/2
    2×atan(0.217440176925111)-π/2
    2×0.214107350226424-π/2
    0.428214700452849-1.57079632675     		φ = -1.14258163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93323556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.470459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14258163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.465105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42502 KachelY 48683 0.93323556 -1.14258163 53.470459 -65.465105
    Oben rechts KachelX + 1 42503 KachelY 48683 0.93333144 -1.14258163 53.475952 -65.465105
    Unten links KachelX 42502 KachelY + 1 48684 0.93323556 -1.14262144 53.470459 -65.467386
    Unten rechts KachelX + 1 42503 KachelY + 1 48684 0.93333144 -1.14262144 53.475952 -65.467386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14258163--1.14262144) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dl = 253.629510000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14258163--1.14262144) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dr = 253.629510000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93323556-0.93333144) × cos(-1.14258163) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.415247359477488 × 6371000     		do = 253.654464103043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93323556-0.93333144) × cos(-1.14262144) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.415211143651412 × 6371000     		du = 253.632341612085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14258163)-sin(-1.14262144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415247359477488-0.415211143651412)×R²
    abs(0.93333144-0.93323556)×3.62158260764356e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.62158260764356e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.62158260764356e-05×40589641000000     		ar = 64331.4519899116m²