Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42500 / 48639
↖ ↑ ↗
← S 65.364547°
E 53.459472°		 ← 254.63 m → S 65.364547°
E 53.464966°		 →
↑
254.65 m
↓
↑
254.65 m
↓
S 65.366837°
E 53.459472°		 ← 254.61 m →
64 838 m²		 S 65.366837°
E 53.464966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648506164550781 y=0.742179870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648506164550781 × 216)
    floor (0.648506164550781 × 65536)
    floor (42500.5)     		tx = 42500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742179870605469 × 216)
    floor (0.742179870605469 × 65536)
    floor (48639.5)     		ty = 48639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42500 / 48639 ti = "16/42500/48639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42500/48639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42500 ÷ 216
    42500 ÷ 65536     		x = 0.64849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48639 ÷ 216
    48639 ÷ 65536     		y = 0.742172241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64849853515625 × 2 - 1) × π
    0.2969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93304381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.484344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52161306773982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93304381} λ = 0.93304381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52161306773982))-π/2
    2×atan(0.218359374252924)-π/2
    2×0.214984882020122-π/2
    0.429969764040243-1.57079632675     		φ = -1.14082656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93304381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.459472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14082656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.364547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42500 KachelY 48639 0.93304381 -1.14082656 53.459472 -65.364547
    Oben rechts KachelX + 1 42501 KachelY 48639 0.93313969 -1.14082656 53.464966 -65.364547
    Unten links KachelX 42500 KachelY + 1 48640 0.93304381 -1.14086653 53.459472 -65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 42501 KachelY + 1 48640 0.93313969 -1.14086653 53.464966 -65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14082656--1.14086653) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dl = 254.648870000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14082656--1.14086653) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dr = 254.648870000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93304381-0.93313969) × cos(-1.14082656) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416843321290753 × 6371000     		do = 254.629359738405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93304381-0.93313969) × cos(-1.14086653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 254.607166161657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14082656)-sin(-1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416843321290753-0.416806989093035)×R²
    abs(0.93313969-0.93304381)×3.63321977183695e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.63321977183695e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.63321977183695e-05×40589641000000     		ar = 64838.2529501204m²