Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4250 / 12394
↖ ↑ ↗
← N 40.094882°
W133.308105°		 ← 934.53 m → N 40.094882°
W133.297119°		 →
↑
934.63 m
↓
↑
934.63 m
↓
N 40.086477°
W133.308105°		 ← 934.64 m →
873 488 m²		 N 40.086477°
W133.297119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129714965820312 y=0.378250122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129714965820312 × 215)
    floor (0.129714965820312 × 32768)
    floor (4250.5)     		tx = 4250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378250122070312 × 215)
    floor (0.378250122070312 × 32768)
    floor (12394.5)     		ty = 12394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4250 / 12394 ti = "15/4250/12394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4250/12394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4250 ÷ 215
    4250 ÷ 32768     		x = 0.12969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12394 ÷ 215
    12394 ÷ 32768     		y = 0.37823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.7406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32666536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37823486328125 × 2 - 1) × π
    0.2435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.765072917936096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32666536} λ = -2.32666536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765072917936096))-π/2
    2×atan(2.14915108060297)-π/2
    2×1.13529201650584-π/2
    2.27058403301168-1.57079632675     		φ = 0.69978771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32666536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.308105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69978771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.094882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4250 KachelY 12394 -2.32666536 0.69978771 -133.308105 40.094882
    Oben rechts KachelX + 1 4251 KachelY 12394 -2.32647361 0.69978771 -133.297119 40.094882
    Unten links KachelX 4250 KachelY + 1 12395 -2.32666536 0.69964101 -133.308105 40.086477
    Unten rechts KachelX + 1 4251 KachelY + 1 12395 -2.32647361 0.69964101 -133.297119 40.086477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69978771-0.69964101) × R
    0.000146699999999944 × 6371000     		dl = 934.625699999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69978771-0.69964101) × R
    0.000146699999999944 × 6371000     		dr = 934.625699999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32666536--2.32647361) × cos(0.69978771) × R
    0.000191749999999935 × 0.764978931021697 × 6371000     		do = 934.528287558831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32666536--2.32647361) × cos(0.69964101) × R
    0.000191749999999935 × 0.765073405702996 × 6371000     		du = 934.643701537637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69978771)-sin(0.69964101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764978931021697-0.765073405702996)×R²
    abs(-2.32647361--2.32666536)×9.44746812990838e-05×R²
    0.000191749999999935×9.44746812990838e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.44746812990838e-05×40589641000000     		ar = 873488.090930619m²