Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42498 / 91650
↖ ↑ ↗
← S 58.080781°
W 63.275757°		 ← 161.45 m → S 58.080781°
W 63.273010°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
S 58.082233°
W 63.275757°		 ← 161.45 m →
26 064 m²		 S 58.082233°
W 63.273010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324237823486328 y=0.699237823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324237823486328 × 217)
    floor (0.324237823486328 × 131072)
    floor (42498.5)     		tx = 42498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699237823486328 × 217)
    floor (0.699237823486328 × 131072)
    floor (91650.5)     		ty = 91650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42498 / 91650 ti = "17/42498/91650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42498/91650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42498 ÷ 217
    42498 ÷ 131072     		x = 0.324234008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91650 ÷ 217
    91650 ÷ 131072     		y = 0.699234008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324234008789062 × 2 - 1) × π
    -0.351531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.10437029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699234008789062 × 2 - 1) × π
    -0.398468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25182419667815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10437029} λ = -1.10437029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25182419667815))-π/2
    2×atan(0.28598263217183)-π/2
    2×0.278547735310099-π/2
    0.557095470620199-1.57079632675     		φ = -1.01370086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10437029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.275757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01370086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.080781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42498 KachelY 91650 -1.10437029 -1.01370086 -63.275757 -58.080781
    Oben rechts KachelX + 1 42499 KachelY 91650 -1.10432236 -1.01370086 -63.273010 -58.080781
    Unten links KachelX 42498 KachelY + 1 91651 -1.10437029 -1.01372620 -63.275757 -58.082233
    Unten rechts KachelX + 1 42499 KachelY + 1 91651 -1.10432236 -1.01372620 -63.273010 -58.082233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01370086--1.01372620) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dl = 161.441140000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01370086--1.01372620) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dr = 161.441140000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10437029--1.10432236) × cos(-1.01370086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.528723080152901 × 6371000     		do = 161.451953063441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10437029--1.10432236) × cos(-1.01372620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.528701571533489 × 6371000     		du = 161.445385147755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01370086)-sin(-1.01372620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528723080152901-0.528701571533489)×R²
    abs(-1.10432236--1.10437029)×2.15086194121916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15086194121916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15086194121916e-05×40589641000000     		ar = 26064.4571932806m²